Równania i nierówności z parametrem
Zadanie 2, maj 2014, poziom rozszerzony
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których funkcja kwadratowa
\[f(x)=x^2-(2m+2)x+2m+5\]
ma dwa różne pierwiastki \(x_1\), \(x_2\) takie, że suma kwadratów odległości punktów \(A=(x_1,0)\) i \(B=(x_2,0)\) od prostej o równaniu
\[x+y+1=0\]
jest równa \(6\).
Odpowiedź
\[m=-3.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Warunek dwóch różnych pierwiastków jest równoważny nierówności
\[\Delta=(2m+2)^2-4(2m+5)=4(m-2)(m+2)>0,\]
czyli \(m<-2\) lub \(m>2\). Odległość punktu \((x_i,0)\) od prostej \(x+y+1=0\) wynosi
\[d_i=\frac{|x_i+1|}{\sqrt2}.\]
Z warunku \(d_1^2+d_2^2=6\) otrzymujemy
\[(x_1+1)^2+(x_2+1)^2=12.\]
Ze wzorów Viète'a
\[x_1+x_2=2m+2,\qquad x_1x_2=2m+5.\]
Po podstawieniu do równania
\[(x_1+x_2)^2-2x_1x_2+2(x_1+x_2)+2=12\]
dostajemy
\[m^2+2m-3=0,\]
a więc \(m=1\) lub \(m=-3\). Warunek \(\Delta>0\) spełnia tylko \(m=-3\).
Klucz i zasady oceniania
**6 pkt** – poprawne wyznaczenie \(m=-3\) z uwzględnieniem warunku dwóch różnych pierwiastków
**5 pkt** – poprawne równanie \(m^2+2m-3=0\) i oba jego rozwiązania, lecz brak odrzucenia \(m=1\)
**4 pkt** – poprawne wykorzystanie wzorów Viète'a i sprowadzenie warunku odległości do równania z parametrem
**3 pkt** – poprawne równanie \((x_1+1)^2+(x_2+1)^2=12\) oraz wzory Viète'a
**2 pkt** – poprawne obliczenie odległości obu punktów od prostej
**1 pkt** – poprawny warunek \(\Delta>0\)
**0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
Zdający bada funkcję kwadratową, stosuje wzory Viète'a oraz oblicza odległość punktu od prostej.
