Liczby rzeczywiste
Zadanie 4, maj 2014, poziom rozszerzony
Udowodnij, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych \(x\), \(y\) prawdziwa jest nierówność
\[\frac{x(x+1)}{y}+\frac{y(y+1)}{x}>2.\]
Odpowiedź
Nierówność jest prawdziwa dla wszystkich \(x>0\) i \(y>0\).
Rozwiązanie krok po kroku
Ponieważ \(xy>0\), możemy pomnożyć nierówność przez \(xy\) bez zmiany jej zwrotu. Otrzymujemy nierówność równoważną
\[x^3+x^2+y^3+y^2>2xy.\]
Po przeniesieniu prawej strony na lewą:
\[x^3+y^3+(x-y)^2>0.\]
Dla \(x>0\) i \(y>0\) mamy \(x^3+y^3>0\), a ponadto \((x-y)^2\geq0\). Ich suma jest więc dodatnia, co kończy dowód.
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – pełny dowód z wykorzystaniem dodatniości \(xy\) i postaci \(x^3+y^3+(x-y)^2>0\)
**2 pkt** – sprowadzenie nierówności do sumy składników dodatnich lub nieujemnych
**1 pkt** – poprawne pomnożenie przez \(xy\) i otrzymanie nierówności wielomianowej
**0 pkt** – rozumowanie błędne albo brak dowodu
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
V. Rozumowanie i argumentacja.
**Wymagania szczegółowe:**
Zdający przekształca wyrażenia wymierne i wykorzystuje dodatniość liczb oraz nieujemność kwadratu do przeprowadzenia dowodu.
