Równania i nierówności
Zadanie 4, maj 2013, poziom rozszerzony
Rozwiąż równanie
\[\cos2x+\cos x+1=0\]
dla \(x\in\langle0,2\pi\rangle\).
Odpowiedź
Rozwiązania w przedziale [\(0\),\(2\pi \)] to x=π/\(2\), \(2\pi \)/\(3\), \(4\pi \)/\(3\) oraz \(3\pi \)/\(2\). Korzystamy z cos \(2x\)=\(2co\)\(s^{2}\)x−\(1\) i otrzymujemy cos x(\(2cos\) x+\(1\))=\(0\), więc cos x=\(0\) lub cos x=−\(\frac{1}{2}\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** W równaniu występują funkcje dwóch różnych argumentów: \(2x\) oraz \(x\). Zanim cokolwiek policzymy, musimy sprowadzić je do jednego argumentu — służy do tego wzór na cosinus podwojonego kąta.
**Krok \(2\).** Spośród trzech wersji tego wzoru wybieramy tę zapisaną przez cosinus, bo w równaniu jest już \(\cos x\):
\[\cos2x=2\cos^2x-1.\]
**Krok \(3\).** Podstawiamy i porządkujemy:
\[2\cos^2x-1+\cos x+1=0,\]
\[2\cos^2x+\cos x=0.\]
**Krok \(4\).** Wyrazy mają wspólny czynnik \(\cos x\), więc wyłączamy go przed nawias:
\[\cos x\left(2\cos x+1\right)=0.\]
**Krok \(5\).** Iloczyn jest zerem, gdy przynajmniej jeden z czynników jest zerem:
\[\cos x=0\qquad\text{lub}\qquad \cos x=-\frac12.\]
**Krok \(6\).** W przedziale \(\langle0,2\pi\rangle\) cosinus zeruje się dla
\[x=\frac{\pi}{2}\qquad\text{oraz}\qquad x=\frac{3\pi}{2}.\]
**Krok \(7\).** Cosinus jest równy \(-\frac12\) dla kątów drugiej i trzeciej ćwiartki o kącie podstawowym \(\frac{\pi}{3}\):
\[x=\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}\qquad\text{oraz}\qquad x=\pi+\frac{\pi}{3}=\frac{4\pi}{3}.\]
**Uwaga.** Po dojściu do \(2\cos^2x+\cos x=0\) nie wolno skrócić obu stron przez \(\cos x\) — stracilibyśmy dwa rozwiązania, dla których \(\cos x=0\). Zawsze wyłączamy wspólny czynnik przed nawias i rozpatrujemy alternatywę.
**Odpowiedź.** \(x=\dfrac{\pi}{2}\), \(x=\dfrac{2\pi}{3}\), \(x=\dfrac{4\pi}{3}\) lub \(x=\dfrac{3\pi}{2}\).
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – zdający zapisze równanie w zależności od jednej funkcji trygonometrycznej tego samego argumentu, np. \(2\cos^{2}x+\cos x=0\), i na tym zakończy.
**2 pkt** – zdający zapisze alternatywę \(\cos x=0\) lub \(\cos x=-\tfrac{1}{2}\), albo wprowadzi pomocniczą niewiadomą, np. \(t=\cos x\), i zapisze, że \(t=0\) lub \(t=-\tfrac{1}{2}\), i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
**3 pkt** – zdający rozwiąże równanie \(\cos x=0\) w przedziale \((0,2\pi)\): \(x=\tfrac{\pi}{2}\) lub \(x=\tfrac{3\pi}{2}\), albo rozwiąże równanie \(\cos x=-\tfrac{1}{2}\) w przedziale \((0,2\pi)\): \(x=\tfrac{2\pi}{3}\) lub \(x=\tfrac{4\pi}{3}\).
**4 pkt** – zdający zapisze rozwiązania obu równań w przedziale \((0,2\pi)\): \(\cos x=0\) dla \(x=\tfrac{\pi}{2}\) lub \(x=\tfrac{3\pi}{2}\) (albo \(x=90^\circ\) lub \(x=270^\circ\)), \(\cos x=-\tfrac{1}{2}\) dla \(x=\tfrac{2\pi}{3}\) lub \(x=\tfrac{4\pi}{3}\) (albo \(x=120^\circ\) lub \(x=240^\circ\)).
Nie wymagamy, aby zdający zapisał warunek np. \(t\in\langle-1,1\rangle\), o ile z rozwiązania wynika, że zdający uwzględnia ten warunek.
Jeżeli zdający podaje ogólne rozwiązanie równania trygonometrycznego, to otrzymuje \(3\) punkty.
Jeżeli zdający dzieli stronami równanie \(2\cos^{2}x+\cos x=0\) przez \(\cos x\) bez rozpatrzenia dwóch przypadków i poprawnie rozwiąże równanie \(2\cos x+1=0\), to otrzymuje za całe rozwiązanie \(2\) punkty.
Wymagania podstawy programowej
IV. Użycie i tworzenie strategii. Rozwiązanie równania trygonometrycznego. (IV.6.e.R)
