Zliczanie i kombinatoryka
Zadanie 3, maj 2013, poziom rozszerzony
Oblicz, ile jest liczb naturalnych sześciocyfrowych, w zapisie których występuje dokładnie trzy razy cyfra \(0\) i dokładnie raz występuje cyfra \(5\).
Odpowiedź
Takich liczb jest \(1920\). Po ustaleniu niezerowej pierwszej cyfry wybieramy trzy z pozostałych pięciu miejsc dla zer, jedno z trzech wolnych miejsc dla cyfry \(5\), a dwa pozostałe miejsca wypełniamy na \(8^{2}\) sposobów: C(\(5\),\(3\))·\(3\cdot 8^{2}\)=\(1920\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** To zadanie na zliczanie. Zamiast wypisywać liczby, ustalamy, na których z sześciu miejsc stoją poszczególne cyfry: najpierw wybieramy miejsca dla zer, potem miejsce dla piątki, a na końcu wypełniamy resztę. Kluczowe ograniczenie: pierwsza cyfra liczby sześciocyfrowej nie może być zerem.
**Krok \(2\).** Zera są trzy i żadne nie może stać na pierwszym miejscu, więc wszystkie trzy zajmują miejsca spośród pięciu pozostałych. Liczba takich wyborów to
\[\binom53=\frac{5\cdot4\cdot3}{3\cdot2\cdot1}=10.\]
**Krok \(3\).** Po rozmieszczeniu zer zostają trzy wolne miejsca — pierwsze oraz dwa z pięciu dalszych. Dokładnie na jednym z nich ma stać cyfra \(5\), więc wybieramy je na \(3\) sposoby.
**Krok \(4\).** Zostały dwa miejsca. Skoro zera mają wystąpić dokładnie trzy razy, a piątka dokładnie raz, to na tych miejscach nie może stać ani \(0\), ani \(5\). Zostaje osiem cyfr: \(1,2,3,4,6,7,8,9\). Każde z dwóch miejsc wypełniamy niezależnie, więc mamy \(8^2=64\) możliwości.
**Krok \(5\).** Zauważmy, że pierwsza cyfra jest automatycznie różna od zera: albo stoi tam \(5\), albo jedna z ośmiu cyfr z kroku \(4\). Warunek na liczbę sześciocyfrową jest więc spełniony.
**Krok \(6\).** Stosujemy regułę mnożenia:
\[10\cdot3\cdot64=1920.\]
**Uwaga.** Słowo „dokładnie” pracuje w dwóch miejscach naraz: wymusza trzy zera (ani mniej, ani więcej) i jedną piątkę, a przez to zawęża wybór pozostałych dwóch cyfr do ośmiu, a nie dziewięciu czy dziesięciu. Podstawienie \(9^2\) albo \(10^2\) w kroku \(4\) to najczęstszy błąd.
**Odpowiedź.** Takich liczb jest \(1920\).
Klucz i zasady oceniania
**Pokonanie zasadniczych trudności zadania** – zdający wybierze trzy miejsca z pięciu dla cyfry \(0\), wybierze jedno z trzech miejsc dla cyfry \(5\) i rozmieści na pozostałych dwóch miejscach cyfry różne od \(0\) i od \(5\).
**3 pkt** – zdający obliczy, ile jest liczb sześciocyfrowych, w zapisie których cyfra \(0\) występuje dokładnie trzy razy i tylko raz występuje cyfra \(5\): \(1920\).
Jeżeli zdający uzyska wynik końcowy, ale traktuje to jak jeden z kilku przypadków, to otrzymuje za rozwiązanie co najwyżej \(2\) punkty.
Wymagania podstawy programowej
IV. Użycie i tworzenie strategii. Wykorzystanie wzorów na liczbę permutacji, kombinacji i wariacji do zliczania obiektów w sytuacjach kombinatorycznych. (IV.10.R)
