Równania i nierówności z parametrem
Zadanie 6, maj 2013, poziom rozszerzony
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie
\[x^2+2(1-m)x+m^2-m=0\]
ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1,x_2\), spełniające warunek
\[x_1x_2\leq6m\leq x_1^2+x_2^2.\]
Odpowiedź
m∈[\(0\),\(3\)−√\(7\)]. Warunek dwóch różnych pierwiastków daje Δ>\(0\), czyli m<\(1\). Ze wzorów Viète'a i nierówności \(x_{1}\)\(x_{2}\)≤\(6m\)≤\(x_{1}\)\(2\)+\(x_{2}\)\(2\) otrzymujemy m∈[\(0\),\(7\)] oraz m∈(−∞,\(3\)−√\(7\)]∪[\(3\)+√\(7\),+∞). Częścią wspólną wszystkich warunków jest [\(0\),\(3\)−√\(7\)].
Rozwiązanie krok po kroku
Rozwiązanie
Zapisujemy układ warunków:
Opis wymagań
Rozwiązanie równania kwadratowego z parametrem,
przeprowadzenie dyskusji i wyciągnięcie wniosków
(IV.\(3\).b.R)
XI • \(X^{2}\) \(6m\) + \(X^{2}\)
Rozwiązujemy nierówność A > O, czyli —m)Ț —m) > O,
—m+l > O
me
Nierówność XI •\(x^{2}\) \(6m\) + \(x^{2}\) zapisujemy w postaci równoważnej
XI • \(X^{2}\) \(6m\) -\(1\)-\(X^{2}\)
—\(2XIX2\).
Wykorzystując wzory Viete'a, otrzymujemy układ nierówności z niewiadomą m:
\(2\)
\(2\)
\(2\)
ś \(6m\) i \(6mś\)
\(1\)
czyli
\(1
-2\).
\(1\)
\(m_{2}\) —\(7mśO\) i \(6m\) +\(2m\) ,
i \(m_{2}\) —\(6m\)+\(2žO\),
me (\(0\),\(7\)) i me ,
Kryteria oceniania odpowiedzi — poziom rozszerzony
Stąd i z poprzednio warunku otrzymujemy
**Odpowiedź.** m∈[\(0\),\(3\)−√\(7\)]. Warunek dwóch różnych pierwiastków daje Δ>\(0\), czyli m<\(1\). Ze wzorów Viète'a i nierówności \(x_{1}\)\(x_{2}\)≤\(6m\)≤\(x_{1}\)\(2\)+\(x_{2}\)\(2\) otrzymujemy m∈[\(0\),\(7\)] oraz m∈(−∞,\(3\)−√\(7\)]∪[\(3\)+√\(7\),+∞). Częścią wspólną wszystkich warunków jest [\(0\),\(3\)−√\(7\)].
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
Rozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.
**Pierwszy etap (1 punkt)** – rozwiązanie nierówności \(\Delta>0\): \(m\in\left(-\infty,1\right)\). Jeżeli zdający zapisze \(\Delta\ge 0\), to za tę część otrzymuje \(0\) punktów.
**Drugi etap (4 punkty)** – rozwiązanie nierówności \(x_{1}\cdot x_{2}\le 6m\le x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\). Podział punktów za drugi etap: za rozwiązanie nierówności \(x_{1}\cdot x_{2}\le 6m\): \(m\in\langle 0,7\rangle\) zdający otrzymuje \(1\) punkt; za rozwiązanie nierówności \(6m\le x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\) zdający otrzymuje \(3\) punkty, przy czym w tej części: \(1\) punkt za zapisanie wyrażenia \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\) w postaci \((x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}\), \(2\) punkty za zapisanie nierówności \(6m\le x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\) w postaci nierówności z jedną niewiadomą, np.: \(6m\le 4\left(m^{2}-2m+1\right)-2m^{2}+2m\), \(3\) punkty za rozwiązanie nierówności \(6m\le x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\).
**Trzeci etap – 6 pkt** – zdający wyznaczy część wspólną zbiorów rozwiązań nierówności i poda odpowiedź: \(m\in\left(0,\,3-\sqrt{7}\right)\).
W przypadku rozwiązania z usterkami za ostatni etap przyznajemy \(1\) punkt jedynie wówczas, gdy zdający poprawnie wykona etap I i popełnia błędy w rozwiązaniu nierówności z etapu II albo gdy popełnia błędy w etapie I i dobrze rozwiąże co najmniej jedną nierówność z etapu II.
Wymagania podstawy programowej
IV. Użycie i tworzenie strategii. Rozwiązanie równania kwadratowego z parametrem, przeprowadzenie dyskusji i wyciągnięcie wniosków. (IV.3.b.R)
