Równania i nierówności
Zadanie 4, maj 2011, poziom rozszerzony
Rozwiąż równanie
\[2\sin^2x-2\sin^2x\cos x=1-\cos x\]
w przedziale \(\langle0,2\pi\rangle\).
Odpowiedź
Rozwiązania w przedziale \(\langle0,2\pi\rangle\): \(x=0\), \(x=\frac{\pi}{4}\), \(x=\frac{3\pi}{4}\), \(x=\frac{5\pi}{4}\), \(x=\frac{7\pi}{4}\), \(x=2\pi\). Równanie sprowadzamy do postaci iloczynowej \((1-\cos x)(2\sin^2x-1)=0\), skąd \(\cos x=1\) lub \(\sin^2x=\frac12\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Po obu stronach równania widać ten sam nawias: po lewej \(2\sin^2x-2\sin^2x\cos x=2\sin^2x(1-\cos x)\), po prawej \(1-\cos x\). To podpowiada metodę: przenieść wszystko na jedną stronę i doprowadzić do postaci iloczynowej. Nie wolno dzielić przez \(1-\cos x\), bo dla niektórych \(x\) to wyrażenie jest zerem.
**Krok \(2\).** Wyłączamy wspólny czynnik po lewej stronie:
\[2\sin^2x(1-\cos x)=1-\cos x.\]
**Krok \(3\).** Przenosimy prawą stronę na lewo i wyłączamy \((1-\cos x)\):
\[2\sin^2x(1-\cos x)-(1-\cos x)=0,\qquad (1-\cos x)\left(2\sin^2x-1\right)=0.\]
**Krok \(4\).** Iloczyn jest zerem, gdy zeruje się któryś z czynników:
\[\cos x=1\qquad\text{lub}\qquad \sin^2x=\tfrac12.\]
**Krok \(5\).** Pierwsze równanie w przedziale \(\langle0,2\pi\rangle\): cosinus przyjmuje wartość \(1\) dla \(x=0\) oraz dla \(x=2\pi\). Oba końce przedziału do niego należą, więc oba są rozwiązaniami.
**Krok \(6\).** Drugie równanie: \(\sin^2x=\frac12\) oznacza \(\sin x=\frac{\sqrt2}{2}\) lub \(\sin x=-\frac{\sqrt2}{2}\).
**Krok \(7\).** Dla \(\sin x=\frac{\sqrt2}{2}\) w przedziale \(\langle0,2\pi\rangle\) mamy \(x=\frac{\pi}{4}\) oraz \(x=\frac{3\pi}{4}\) (pierwsza i druga ćwiartka). Dla \(\sin x=-\frac{\sqrt2}{2}\) mamy \(x=\frac{5\pi}{4}\) oraz \(x=\frac{7\pi}{4}\) (trzecia i czwarta ćwiartka).
**Krok \(8\).** Zbieramy wszystkie znalezione argumenty:
\[x\in\left\{0,\ \tfrac{\pi}{4},\ \tfrac{3\pi}{4},\ \tfrac{5\pi}{4},\ \tfrac{7\pi}{4},\ 2\pi\right\}.\]
**Krok \(9\).** Kontrola dla \(x=\frac{\pi}{4}\): \(\sin^2x=\frac12\), więc lewa strona to \(2\cdot\frac12-2\cdot\frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2}=1-\frac{\sqrt2}{2}\), a prawa \(1-\frac{\sqrt2}{2}\). Zgadza się.
**Uwaga.** Podzielenie obu stron przez \(1-\cos x\) gubi rozwiązania \(x=0\) i \(x=2\pi\) — to najczęstszy błąd w tym zadaniu. Trzeba też pamiętać, że przedział \(\langle0,2\pi\rangle\) jest domknięty, więc oba jego końce mogą być rozwiązaniami.
**Odpowiedź.** \(x=0\), \(x=\frac{\pi}{4}\), \(x=\frac{3\pi}{4}\), \(x=\frac{5\pi}{4}\), \(x=\frac{7\pi}{4}\) lub \(x=2\pi\).
Klucz i zasady oceniania
*Schemat oceniania I*
**Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania** – zapisanie równania w postaci, np. \(2\sin^{2}x\left(1-\cos x\right)=1-\cos x\) lub \(\left(2\sin^{2}x-1\right)\left(1-\cos x\right)=0\), lub \(\left(2\sin^{2}x-1\right)-\cos x\left(2\sin^{2}x-1\right)=0\).
**2 pkt** – zapisanie równania w postaci alternatywy, np. \(\sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\) lub \(\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\) lub \(\cos x=1\); albo \(\cos 2x=0\) lub \(\cos x=1\).
**Pokonanie zasadniczych trudności zadania** – rozwiązanie jednego z otrzymanych równań.
**Rozwiązanie pełne** – zapisanie wszystkich rozwiązań równania w podanym przedziale: \(x=0\), \(x=\frac{1}{4}\pi\), \(x=\frac{3}{4}\pi\), \(x=\frac{5}{4}\pi\), \(x=\frac{7}{4}\pi\), \(x=2\pi\); albo \(x=0^\circ\), \(x=45^\circ\), \(x=135^\circ\), \(x=225^\circ\), \(x=315^\circ\), \(x=360^\circ\).
*Schemat oceniania II*
**1 pkt** – zapisanie równania w postaci iloczynowej, np. \(\left(2\cos^{2}x-1\right)\left(\cos x-1\right)=0\).
**2 pkt** – zapisanie równania w postaci alternatywy: \(\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\) lub \(\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}\) lub \(\cos x=1\).
**3 pkt** – rozwiązanie jednego z otrzymanych równań.
**4 pkt** – zapisanie wszystkich rozwiązań równania w podanym przedziale: \(x=0\), \(x=\frac{1}{4}\pi\), \(x=\frac{3}{4}\pi\), \(x=\frac{5}{4}\pi\), \(x=\frac{7}{4}\pi\), \(x=2\pi\); albo \(x=0^\circ\), \(x=45^\circ\), \(x=135^\circ\), \(x=225^\circ\), \(x=315^\circ\), \(x=360^\circ\).
Jeżeli zdający podaje ogólne rozwiązania równania bez uwzględnienia przedziału \((0,2\pi)\), to otrzymuje \(3\) punkty. Jeżeli zdający zapisze równanie w postaci \(2\cos^{2}x\left(\cos x-1\right)=\cos x-1\), a następnie podzieli obie strony równania przez \(\cos x-1\) \([\ldots]\) i rozwiąże tylko równanie \(2\cos^{2}x-1=0\), to za całe zadanie otrzymuje \(1\) punkt. Jeżeli zdający zapisze równanie w postaci \(2\cos^{2}x\left(\cos x-1\right)=\cos x-1\), a następnie podzieli obie strony równania przez \(\cos x-1\) \([\ldots]\), rozwiąże tylko równanie \(2\cos^{2}x-1=0\) i nie rozpatrzy równania \(\cos x=1\), to za całe zadanie otrzymuje \(2\) punkty.
Wymagania podstawy programowej
IV. Użycie i tworzenie strategii. Rozwiązanie równania trygonometrycznego.
