Zadanie 5 – matura z matematyki maj 2011, poziom rozszerzony

\(x_1=1\). Z warunku \(\frac{a_{n+1}}{a_n}=3^{\,x_{n+1}-x_n}=27=3^3\) wynika \(x_{n+1}-x_n=3\), więc \((x_n)\) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy \(3\); z równania \(10x_1+45\cdot3=145\) otrzymujemy \(x_1=1\).

**Krok \(1\).** Informacja, że ciąg \((a_n)\) jest geometryczny, znaczy, że iloraz kolejnych wyrazów jest stały i równy \(27\). Skoro wyrazy są potęgami o tej samej podstawie \(3\), to iloraz zamieni się na potęgę o wykładniku będącym różnicą — i w ten sposób z ciągu geometrycznego \((a_n)\) zrobi się warunek na ciąg \((x_n)\). **Krok \(2\).** Zapisujemy iloraz dwóch kolejnych wyrazów: \[\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{3^{x_{n+1}}}{3^{x_n}}=3^{\,x_{n+1}-x_n}=27=3^3.\] **Krok \(3\).** Potęgi o tej samej podstawie \(3\) są równe dokładnie wtedy, gdy równe są wykładniki, więc dla każdego \(n\geqslant1\) \[x_{n+1}-x_n=3.\] **Krok \(4\).** Różnica kolejnych wyrazów ciągu \((x_n)\) jest stała, a to jest właśnie definicja ciągu arytmetycznego. Zatem \((x_n)\) jest arytmetyczny o różnicy \(r=3\). **Krok \(5\).** Korzystamy ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego dla \(n=10\): \[S_{10}=\frac{2x_1+9r}{2}\cdot10=10x_1+45r.\] **Krok \(6\).** Podstawiamy \(r=3\) oraz \(S_{10}=145\): \[10x_1+45\cdot3=145,\qquad 10x_1+135=145.\] **Krok \(7\).** Stąd \(10x_1=10\), czyli \(x_1=1\). **Uwaga.** Nie należy mylić obu ciągów: geometryczny jest \((a_n)\), natomiast \((x_n)\) — czyli ciąg wykładników — jest arytmetyczny. We wzorze na sumę dziesięciu wyrazów pojawia się \(45r\), a nie \(9r\), bo \(\frac{9}{2}\cdot10=45\). **Odpowiedź.** \(x_1=1\).

Zadanie 5. (0—4) Użycie i tworzenie strategii Zastosowanie własności ciągu geometrycznego, wzorów na n-ty wyraz tego ciągu i na sumę n wyrazów ciągu arytmetycznego I sposób rozwiązania a Z własności ciągu geometrycznego zapisujemy równość: a Zatem 27 X Stąd xn+l —xn = 3 dla nžl Zauważamy, że jeśli dla dowolnej liczby naturalnej : xn+l — x n = 3, to ciąg (xn)je n arytmetyczny o różnicy r = 3 Z własności ciągu arytmetycznego zapisujemy układ równań + (XI + +9r) 145 +45—145 Doprowadzamy układ do postaci: i podstawiamy r = 3 do pierwsze{ równania. Otrzymujemy równanie z jedną niewiadomą: IOXI +135 = 145 . Stąd XI = I Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełneg rozwiązania zadania 1 pl Wykorzystanie własności ciągu geometrycznego i zapisanie odpowiedniego równania, np. 27=3 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp Zapisanie zależności między dwoma kolejnymi wyrazami ciągu (xn) • X —xn— (wystarczy zapis, np. x2 — XI = 3). Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p] rozwiązania 1 pkt =3145 Zapisanie układu równań lub równania XI + (XI +3)+. np.: +135=145 Obliczenie XI : XI = 1 Uwaga = 145 lub . + (XI +27) Rozwiązanie pełne 2x1 + 9r .10=145 2 lub = 145 i przekształcenie do równania Jeżeli zdający pomyli własności ciągu arytmetycznego i geometrycznego, +45r = 14: w postac to za ca rozwiązanie otrzymuje O punktów. Kryteria oceniania odpowiedzi II sposób rozwiązania =3145 Z warunków zadania zapisujemy równość: Zatem .3X2 .....3 =3145 Korzystając z tego, że ciąg (an ) jest geometryczny o ilorazie q = 27 otrzymujemy .27....3XI .279 =3145 Stąd 10-rł = 3145 3 .27 I Oxł .3345 =3145 3 +135 = 3145 3 +135=145 Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego Wykorzystanie warunków zadania i zapłsanie równości: 3Xl+X2* Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp ......................................................................2 pkt Wykorzystanie własności ciągu geometrycznego .279 =3145 .27 • Pokonanie zasadniczych trudności zadania.....................................................................3 pkt Przekształcenie równania do postaci: I Oxł +135 = 145 Rozwiązanie pełne Obliczenie XI : XI = I i zapisanie równama: 4 pkt

IV. Użycie i tworzenie strategii. Zastosowanie własności ciągu geometrycznego, wzorów na n-ty wyraz tego ciągu i na sumę n wyrazów ciągu arytmetycznego.