Zadanie 17 – matura z matematyki maj 2003, poziom rozszerzony

\(x=\frac{\pi}{6}+2k\pi\) lub \(x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\).

**Krok \(1\).** W równaniu \(2\cos^2x+5\sin x-4=0\) występują dwie różne funkcje trygonometryczne tego samego argumentu. Standardowy chwyt: sprowadzamy wszystko do jednej funkcji. Ponieważ cosinus jest w kwadracie, użyjemy jedynki trygonometrycznej \(\sin^2x+\cos^2x=1\), z której \(\cos^2x=1-\sin^2x\). **Krok \(2\).** Podstawiamy: \[2\left(1-\sin^2x\right)+5\sin x-4=0.\] **Krok \(3\).** Rozwijamy nawias i porządkujemy: \[2-2\sin^2x+5\sin x-4=0,\qquad -2\sin^2x+5\sin x-2=0.\] Mnożymy obie strony przez \(-1\): \[2\sin^2x-5\sin x+2=0.\] **Krok \(4\).** Wprowadzamy pomocniczą niewiadomą \(t=\sin x\). Uwaga: sinus przyjmuje tylko wartości z przedziału \(\langle -1,1\rangle\), więc \(t\in\langle -1,1\rangle\). Otrzymujemy zwykłe równanie kwadratowe \[2t^2-5t+2=0.\] **Krok \(5\).** Liczymy wyróżnik i pierwiastki: \[\Delta=(-5)^2-4\cdot 2\cdot 2=25-16=9,\qquad \sqrt{\Delta}=3,\] \[t_1=\frac{5-3}{4}=\frac{1}{2},\qquad t_2=\frac{5+3}{4}=2.\] **Krok \(6\).** Wartość \(t_2=2\) odrzucamy, bo sinus nigdy nie jest równy \(2\). Zostaje więc jedno równanie do rozwiązania: \[\sin x=\frac{1}{2}.\] **Krok \(7\).** Sinus jest równy \(\frac12\) dla kąta \(\frac{\pi}{6}\) (pierwsza ćwiartka) oraz dla kąta \(\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}\) (druga ćwiartka, bo tam sinus też jest dodatni i ma tę samą wartość). Sinus ma okres \(2\pi\), więc do każdego z tych kątów dokładamy pełne obroty: \[x=\frac{\pi}{6}+2k\pi\qquad\text{lub}\qquad x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.\] **Uwaga.** Dwie pułapki. Po pierwsze, trzeba jawnie napisać, że \(\sin x=2\) nie ma rozwiązań, a nie tylko po cichu tę wartość pominąć. Po drugie, okresem jest tutaj \(2\pi\), a nie \(\pi\): kąty \(\frac{\pi}{6}\) i \(\frac{7\pi}{6}\) mają różne sinusy. **Odpowiedź.** \(x=\frac{\pi}{6}+2k\pi\) lub \(x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\).

**1. (1 pkt)** – zapisanie równania w postaci \(2\sin^{2}x-5\sin x+2=0\) **2. (1 pkt)** – zapisanie równania z niewiadomą \(t=\sin x\). Odp. \(2t^{2}-5t+2=0\) **3. (1 pkt)** – wyznaczenie rozwiązań równania \(2t^{2}-5t+2=0\). Odp. \(t=2\), \(t=\frac{1}{2}\) **4. (1 pkt)** – zapisanie, że równanie \(\sin x=2\) nie ma rozwiązań. **5. (1 pkt)** – zapisanie rozwiązań równania \(2\cos^{2}x+5\sin x-4=0\). Odp. \(x=\frac{\pi}{6}+2k\pi\), \(k\in C\) lub \(x=\frac{5}{6}\pi+2k\pi\), \(k\in C\). (Uznajemy też wynik zapisany w postaci \(x=30^\circ+k\cdot 360^\circ\), gdzie \(k\in C\) lub \(x=150^\circ+k\cdot 360^\circ\), gdzie \(k\in C\)).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.