Okręgi i koła
Zadanie 16, maj 2003, poziom rozszerzony
Zawierając w kolekturze Toto-Lotka jeden zakład w grze „Expres-Lotek”, zakreślamy \(5\) spośród \(42\) liczb. Oblicz prawdopodobieństwo trafienia co najmniej \(4\) spośród \(5\) wylosowanych liczb. Wynik podaj w zaokrągleniu do \(0{,}00001\).
Odpowiedź
\[P\approx0{,}00022.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Zdarzeniem elementarnym jest wybór \(5\) liczb spośród \(42\); wszystkie takie wybory są jednakowo prawdopodobne, a jest ich
\[\lvert\Omega\rvert=\binom{42}{5}=\frac{42\cdot41\cdot40\cdot39\cdot38}{120}=850\,668.\]
Zdarzenie \(A\) — trafienie co najmniej \(4\) liczb — jest sumą dwóch zdarzeń rozłącznych.
Trafienie wszystkich \(5\) liczb można uzyskać na \(\binom55=1\) sposób.
Trafienie dokładnie \(4\) liczb: wybieramy \(4\) spośród \(5\) wylosowanych i \(1\) spośród \(37\) pozostałych:
\[\binom54\cdot\binom{37}{1}=5\cdot37=185.\]
Zatem \(\lvert A\rvert=1+185=186\).
Z klasycznej definicji prawdopodobieństwa
\[P(A)=\frac{186}{850\,668}\approx0{,}00021866.\]
Po zaokrągleniu do \(0{,}00001\):
\[P(A)\approx0{,}00022.\]
**Odpowiedź.** \(P(A)\approx0{,}00022\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – zapisanie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych \(\lvert\Omega\rvert=\binom{42}{5}\).
**2–3 pkt** – obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających: \(1\) dla pięciu trafień i \(\binom54\binom{37}{1}=185\) dla dokładnie czterech.
**4–5 pkt** – obliczenie prawdopodobieństwa i podanie wyniku z żądaną dokładnością: \(P\approx0{,}00022\).
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
