Równania i nierówności
Zadanie 18, maj 2003, poziom rozszerzony
W tabeli podane są wartości funkcji \(f:(-3,4)\to\mathbb{R}\) dla trzech argumentów.
| \(x\) | \(-2\) | \(0\) | \(3\) |
|---:|---:|---:|---:|
| \(f(x)\) | \(3\frac58\) | \(\frac58\) | \(-1\) |
Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji \(f\).
a) Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji \(f\) w punkcie o odciętej \(x=0\).
b) Wyznacz ekstremum funkcji \(f\). Podaj argument, dla którego funkcja \(f\) osiąga ekstremum.
c) Podaj najmniejszą wartość funkcji \(f\).
Odpowiedź
a) Styczna ma równanie \(y=\frac58\). b) Funkcja \(f\) osiąga minimum dla \(x=3\) i \(f_{\min}=f(3)=-1\). c) Najmniejsza wartość funkcji \(f\) jest równa \(-1\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Zadanie łączy dwa źródła informacji: tabelę z trzema wartościami funkcji \(f\) i wykres jej pochodnej. Kluczowa myśl jest taka, że wykres pochodnej nie mówi nam nic o wartościach \(f\) — te bierzemy wyłącznie z tabeli — natomiast mówi wszystko o nachyleniu wykresu \(f\) i o monotoniczności.
**Krok \(2\).** Podpunkt a). Styczna do wykresu funkcji \(f\) w punkcie o odciętej \(x_0\) ma równanie
\[y=f(x_0)+f^{\prime}(x_0)(x-x_0).\]
Potrzebujemy więc dwóch liczb: \(f(0)\) oraz \(f^{\prime}(0)\).
**Krok \(3\).** Wartość \(f(0)=\frac58\) odczytujemy z tabeli. Wartość \(f^{\prime}(0)\) odczytujemy z wykresu pochodnej: dla \(x=0\) wykres pochodnej przechodzi przez oś \(Ox\), czyli \(f^{\prime}(0)=0\).
**Krok \(4\).** Podstawiamy do wzoru na styczną:
\[y=\tfrac58+0\cdot(x-0)=\tfrac58.\]
Styczna jest prostą poziomą — to naturalne, skoro nachylenie wykresu w tym punkcie jest zerowe.
**Krok \(5\).** Podpunkt b). Funkcja ma ekstremum tam, gdzie jej pochodna zmienia znak. Patrzymy więc na wykres pochodnej i szukamy miejsc, w których przechodzi ona z jednej strony osi \(Ox\) na drugą.
**Krok \(6\).** Z wykresu widać, że \(f^{\prime}(x)\leqslant0\) dla \(x\in(-3,3)\) oraz \(f^{\prime}(x)\gt0\) dla \(x\in(3,4)\). Pochodna zmienia znak z minusa na plus tylko w punkcie \(x=3\), więc \(f\) ma tam minimum lokalne (i jest to jedyne ekstremum tej funkcji).
**Krok \(7\).** Wartości minimum nie odczytamy z wykresu pochodnej — bierzemy ją z tabeli: \(f(3)=-1\). Zatem \(f_{\min}=f(3)=-1\) dla argumentu \(x=3\).
**Krok \(8\).** Podpunkt c). Skoro \(f^{\prime}(x)\leqslant0\) na \((-3,3\rangle\), to funkcja jest tam malejąca, a skoro \(f^{\prime}(x)\gt0\) na \(\langle3,4)\), to dalej rośnie. Najmniejszą wartość przyjmuje więc dokładnie w punkcie zwrotnym, czyli w \(x=3\), i jest ona równa \(-1\).
**Uwaga.** To, że \(f^{\prime}(0)=0\), nie oznacza jeszcze ekstremum w zerze. Warunek \(f^{\prime}(x_0)=0\) jest tylko konieczny — potrzebna jest jeszcze zmiana znaku pochodnej. Tutaj pochodna dotyka osi w \(x=0\), ale znaku nie zmienia (podobnie jak dla funkcji \(y=x^3\) w zerze), więc funkcja cały czas maleje i ekstremum tam nie ma.
**Odpowiedź.** a) \(y=\frac58\). b) Minimum \(f_{\min}=f(3)=-1\) dla \(x=3\). c) Najmniejsza wartość funkcji \(f\) jest równa \(-1\).
Klucz i zasady oceniania
**1. (2 pkt)** – wykonanie polecenia a). Odp. \(y=\frac{5}{8}\). Za podanie współczynnika kierunkowego stycznej lub wartości pochodnej funkcji \(f\) dla \(x=0\) przyznajemy \(1\) punkt.
**2. (1 pkt)** – podanie argumentu, dla którego funkcja \(f\) osiąga minimum. Odp. \(x=3\)
**3. (1 pkt)** – podanie minimum funkcji \(f\). Odp. \(f_{\min}(3)=-1\)
**4. (1 pkt)** – wykonanie polecenia c). Odp. Najmniejsza wartość funkcji \(f\) jest równa \(-1\).
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
