Wartości funkcji trygonometrycznych
Zadanie 9, lipiec 2020, poziom rozszerzony
Rozwiąż równanie
\[4\sin^3x+\sin(2x)=2\sin^2x(2\cos x+1).\]
Odpowiedź
Dla \(k\in\mathbb Z\):
\[x=k\pi\quad\text{lub}\quad x=\frac\pi4+k\pi\quad\text{lub}\quad x=\frac\pi6+2k\pi\quad\text{lub}\quad x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Korzystamy z tożsamości \(\sin(2x)=2\sin x\cos x\) i przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę. Po wyłączeniu wspólnych czynników otrzymujemy
\[2\sin x(\sin x-\cos x)(2\sin x-1)=0.\]
Stąd mamy trzy równania:
\[\sin x=0,\qquad \sin x=\cos x,\qquad \sin x=\frac12.\]
Ich rozwiązania są następujące:
\[\sin x=0\iff x=k\pi,\]
\[\sin x=\cos x\iff x=\frac\pi4+k\pi,\]
\[\sin x=\frac12\iff x=\frac\pi6+2k\pi\quad\text{lub}\quad x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi,\]
gdzie \(k\in\mathbb Z\).
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – zapisanie wszystkich czterech serii rozwiązań
**3 pkt** – poprawne rozwiązanie dwóch spośród trzech równań elementarnych
**2 pkt** – sprowadzenie równania do postaci \(2\sin x(\sin x-\cos x)(2\sin x-1)=0\)
**1 pkt** – zapisanie równania w częściowo rozłożonej postaci iloczynowej
**0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
R6.6 rozwiązywanie równań trygonometrycznych.
