Liczby rzeczywiste
Zadanie 8, lipiec 2020, poziom rozszerzony
Wykaż, że dla każdej liczby nieparzystej n wyrażenie \(n^{5}-3n^{4}-n+3\) jest podzielne przez \(16\).
Odpowiedź
Rozkład na czynniki daje \(n^{5}-3n^{4}-n+3=(n-3)(n-1)(n+1)\left(n^{2}+1\right)\). Dla nieparzystego \(n=2k+1\) każdy z czterech czynników jest parzysty, więc iloczyn równa się \(16\,(k-1)k(k+1)\left(2k^{2}+2k+1\right)\) i jest podzielny przez \(16\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Rozpoznajemy zadanie na podzielność. Mamy wykazać podzielność przez \(16=2^{4}\), więc najlepszą strategią jest **rozłożenie wyrażenia na czynniki** i pokazanie, że dla nieparzystego \(n\) co najmniej cztery z tych czynników są parzyste. Wtedy w iloczynie da się wyłączyć \(2\cdot2\cdot2\cdot2=16\).
**Krok \(2\).** Grupujemy wyrazy parami:
\[n^{5}-3n^{4}-n+3=\left(n^{5}-3n^{4}\right)+\left(-n+3\right).\]
Z pierwszej pary wyłączamy \(n^{4}\), z drugiej \(-1\):
\[n^{4}(n-3)-(n-3).\]
**Krok \(3\).** Wyłączamy wspólny czynnik \((n-3)\):
\[n^{5}-3n^{4}-n+3=(n-3)\left(n^{4}-1\right).\]
**Krok \(4\).** Drugi czynnik rozkładamy dwukrotnie wzorem na różnicę kwadratów:
\[n^{4}-1=\left(n^{2}\right)^{2}-1^{2}=\left(n^{2}-1\right)\left(n^{2}+1\right)=(n-1)(n+1)\left(n^{2}+1\right).\]
**Krok \(5\).** Otrzymujemy pełny rozkład:
\[n^{5}-3n^{4}-n+3=(n-3)(n-1)(n+1)\left(n^{2}+1\right).\]
**Krok \(6\).** Korzystamy z założenia: \(n\) jest nieparzysta, więc \(n=2k+1\) dla pewnej liczby całkowitej \(k\). Podstawiamy do każdego czynnika:
\[n-3=2k-2=2(k-1),\qquad n-1=2k,\qquad n+1=2k+2=2(k+1),\]
\[n^{2}+1=(2k+1)^{2}+1=4k^{2}+4k+2=2\left(2k^{2}+2k+1\right).\]
Każdy z czterech czynników jest więc parzysty.
**Krok \(7\).** Mnożymy i wyciągamy dwójki przed nawias:
\[2(k-1)\cdot2k\cdot2(k+1)\cdot2\left(2k^{2}+2k+1\right)=16\cdot(k-1)\,k\,(k+1)\left(2k^{2}+2k+1\right).\]
**Krok \(8\).** Wyrażenie \((k-1)k(k+1)\left(2k^{2}+2k+1\right)\) jest liczbą całkowitą, bo powstaje z liczby całkowitej \(k\) przez dodawanie i mnożenie. Zatem badane wyrażenie jest iloczynem liczby \(16\) i liczby całkowitej, czyli jest podzielne przez \(16\). To kończy dowód.
**Uwaga.** Założenie o nieparzystości \(n\) jest naprawdę potrzebne — to ono sprawia, że wszystkie cztery czynniki są parzyste **jednocześnie**. Dla \(n\) parzystego teza nie zachodzi: dla \(n=2\) mamy \(32-48-2+3=-15\), a \(-15\) nie dzieli się przez \(16\).
**Odpowiedź.** Dla \(n=2k+1\) zachodzi \(n^{5}-3n^{4}-n+3=16\,(k-1)k(k+1)\left(2k^{2}+2k+1\right)\), więc dla każdej liczby nieparzystej \(n\) wyrażenie jest podzielne przez \(16\).
Klucz i zasady oceniania
**Schemat oceniania II sposobu rozwiązania**
**1 pkt** – gdy zapisze wraz z odpowiednimi założeniami wyrażenie \((2k+1)^{5}-3(2k+1)^{4}-(2k+1)+19\) i przekształci poprawnie przynajmniej jedno z wyrażeń: \((2k+1)^{5}=32n^{5}+80n^{4}+80n^{3}+40n^{2}+10n+1\) lub \((2k+1)^{4}=16n^{4}+32n^{3}+24n^{2}+8n+1\).
**2 pkt** – gdy doprowadzi wyrażenie do postaci \(32n^{5}+32n^{4}-16n^{3}-32n^{2}-16n+16\) i nie uzasadni, że to wyrażenie jest podzielne przez \(16\).
**3 pkt** – gdy przeprowadzi pełne rozumowanie.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 8. (0–3)
Wykaż, że dla każdej liczby nieparzystej n wyrażenie n5 − 3n4 − n + 3 jest podzielne przez 16.
Rozwiązanie (I sposób)
Przekształcamy wyrażenie n5 − 3n4 − n + 3 równoważnie w następujący sposób
n4 ⋅ ( n − 3 ) − ( n − 3 )
( n4 −1 ) ⋅ ( n − 3 )
( n2 −1 ) ⋅ ( n2 + 1 ) ⋅ ( n − 3 )
( n −1 ) ⋅ ( n + 1 ) ⋅ ( n2 + 1 ) ⋅ ( n − 3 )
( )
Liczba n jest nieparzysta więc liczby ( n − 1 ) , ( n + 1 ) , n2 + 1 , ( n − 3 ) są parzyste zatem ich
iloczyn jest podzielny przez 24.Wyrażenie jest sumą dwóch składników podzielnych przez 16
więc jest podzielne przez 16.
Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje .............................................................................................................. 1 p.
( )
gdy zapisze wyrażenie w postaci: n4 −1 ⋅ ( n − 3 ) + 16 .
Zdający otrzymuje .............................................................................................................. 2 p.
( )
gdy zapisze nierówność w postaci: ( n −1 ) ⋅ ( n +1 ) ⋅ n2 +1 ⋅ ( n − 3 ) +16 i nie uzasadni
podzielności przez 16.
Zdający otrzymuje .............................................................................................................. 3 p.
gdy przeprowadzi pełne rozumowanie.
Rozwiązanie (II sposób)
Ponieważ liczba n jest nieparzysta możemy zapisać ją w postaci 2k+1, gdzie k jest liczbą
całkowitą.
Wyrażenie n5 − 3n4 − n + 3 przyjmuje postać:
