Logarytmy
Zadanie 10, lipiec 2020, poziom rozszerzony
Dla pewnych liczb rzeczywistych \(a>1\), \(b>1\) i \(N>1\) jest spełniona równość
\[\log_{a^2b}N=\frac3{20}\left(\log_aN+\log_bN\right).\]
Wyznacz wszystkie wartości wyrażenia \(\log_ab\).
Odpowiedź
\[\log_ab\in\left\{3,\frac23\right\}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy
\[t=\log_ab.\]
Ponieważ \(a>1\) i \(b>1\), mamy \(t>0\). Sprowadzamy wszystkie logarytmy do podstawy \(a\). Jeśli \(L=\log_aN\), to \(L>0\), a ponadto
\[\log_{a^2b}N=\frac{L}{2+t},\qquad \log_bN=\frac{L}{t}.\]
Równość z zadania przyjmuje postać
\[\frac{L}{2+t}=\frac3{20}\left(L+\frac Lt\right).\]
Dzielimy przez dodatnie \(L\) i mnożymy przez \(20t(2+t)\):
\[20t=3(t+1)(t+2).\]
Po uporządkowaniu
\[3t^2-11t+6=0,\qquad (3t-2)(t-3)=0.\]
Stąd \(t=\frac23\) lub \(t=3\), czyli
\[\log_ab\in\left\{\frac23,3\right\}.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – wyznaczenie obu wartości: \(\log_ab=3\) lub \(\log_ab=\frac23\)
**3 pkt** – sprowadzenie zależności do równania kwadratowego \(3t^2-11t+6=0\)
**2 pkt** – zapisanie równania wymiernego \(\frac{20}{t+2}=3+\frac3t\) dla \(t=\log_ab\)
**1 pkt** – poprawne sprowadzenie wszystkich logarytmów do podstawy \(a\)
**0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
stosowanie wzoru na zmianę podstawy logarytmu i własności logarytmów.
