Równania i nierówności z parametrem
Zadanie 11, czerwiec 2026, poziom rozszerzony
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie
\[x^{2}+mx+m=0\]
ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_{1}\) oraz \(x_{2}\) spełniające warunek
\[x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+4x_{1}^{3}x_{2}^{3}\geq3.\]
Zapisz obliczenia.
Odpowiedź
\[m\in(-\infty,-1]\cup(4,+\infty).\]
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Metoda: warunek istnienia dwóch różnych pierwiastków to \(\Delta\gt 0\), a wyrażenie z treści przepisujemy przez sumę i iloczyn pierwiastków (wzory Viète'a).
**Krok \(2\).** Dla równania \(x^{2}+mx+m=0\)
\[\Delta=m^{2}-4m=m(m-4)\gt 0\quad\Longleftrightarrow\quad m\in(-\infty,0)\cup(4,+\infty).\]
**Krok \(3\).** Ze wzorów Viète'a \(x_{1}+x_{2}=-m\) oraz \(x_{1}x_{2}=m\).
**Krok \(4\).** Obliczamy sumę kwadratów:
\[x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=m^{2}-2m.\]
**Krok \(5\).** Sumę czwartych potęg wyrażamy przez sumę kwadratów:
\[x_{1}^{4}+x_{2}^{4}=\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)^{2}-2\left(x_{1}x_{2}\right)^{2}=\left(m^{2}-2m\right)^{2}-2m^{2},\]
a ponadto \(4x_{1}^{3}x_{2}^{3}=4\left(x_{1}x_{2}\right)^{3}=4m^{3}\).
**Krok \(6\).** Sumujemy, korzystając z \(\left(m^{2}-2m\right)^{2}=m^{4}-4m^{3}+4m^{2}\):
\[x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+4x_{1}^{3}x_{2}^{3}=m^{4}-4m^{3}+4m^{2}-2m^{2}+4m^{3}=m^{4}+2m^{2}.\]
**Krok \(7\).** Warunek zadania przyjmuje postać \(m^{4}+2m^{2}-3\geq 0\). Rozkładamy jak trójmian względem \(m^{2}\):
\[\left(m^{2}+3\right)\left(m^{2}-1\right)\geq 0.\]
Ponieważ \(m^{2}+3\gt 0\), warunek redukuje się do \(m^{2}\geq 1\), czyli \(m\in(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)\).
**Krok \(8\).** Bierzemy część wspólną ze zbiorem z Kroku \(2\):
\[\left[(-\infty,0)\cup(4,+\infty)\right]\cap\left[(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)\right]=(-\infty,-1]\cup(4,+\infty).\]
**Uwaga.** W przedziale \((4,+\infty)\) warunek \(m^{2}\geq 1\) jest spełniony automatycznie, więc końcowy zbiór dziedziczy z niego otwartość w punkcie \(4\) (to \(\Delta\gt 0\) wyklucza \(m=4\)), natomiast \(m=-1\) należy do zbioru, bo tam nierówność jest nieostra i \(\Delta=5\gt 0\).
**Odpowiedź.** \(m\in(-\infty,-1]\cup(4,+\infty)\).
Klucz i zasady oceniania
Rozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.
**Pierwszy etap** polega na rozwiązaniu nierówności \(\Delta>0\). Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
**1 pkt** – poprawne rozwiązanie nierówności \(\Delta>0\): \(m\in(-\infty,0)\cup(4,+\infty)\).
Uwaga. Jeżeli zdający rozwiązuje warunek \(\Delta\geq 0\), to za tę część rozwiązania otrzymuje 0 punktów.
**Drugi etap** polega na wyznaczeniu tych wartości parametru \(m\), dla których jest spełniony warunek \(x_1^{4}+x_2^{4}+4\cdot x_1^{3}\cdot x_2^{3}\geq 3\). Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 3 punkty. Podział punktów za drugi etap rozwiązania:
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
**1 pkt** – przekształcenie nierówności \(x_1^{4}+x_2^{4}+4\cdot x_1^{3}\cdot x_2^{3}\geq 3\) do postaci pozwalającej na bezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a, np. \(\left[(x_1+x_2)^{2}-2\cdot x_1\cdot x_2\right]^{2}-2(x_1\cdot x_2)^{2}+4(x_1\cdot x_2)^{3}\geq 3\).
**2 pkt** – zapisanie nierówności z jedną niewiadomą \(m\) równoważnej warunkowi \(x_1^{4}+x_2^{4}+4\cdot x_1^{3}\cdot x_2^{3}\geq 3\), np. \(\left[(-m)^{2}-2m\right]^{2}-2m^{2}+4m^{3}\geq 3\).
**3 pkt** – rozwiązanie nierówności z jedną niewiadomą \(m\) równoważnej warunkowi \(x_1^{4}+x_2^{4}+4\cdot x_1^{3}\cdot x_2^{3}\geq 3\): \(m\in(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)\).
**Trzeci etap** polega na wyznaczeniu wszystkich wartości parametru \(m\), które spełniają jednocześnie warunki \(\Delta>0\) oraz \(x_1^{4}+x_2^{4}+4\cdot x_1^{3}\cdot x_2^{3}\geq 3\): \(m\in(-\infty,-1]\cup(4,+\infty)\). Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
**1 pkt** – poprawne wyznaczenie wszystkich wartości parametru \(m\), które spełniają jednocześnie warunki \(\Delta>0\) oraz \(x_1^{4}+x_2^{4}+4\cdot x_1^{3}\cdot x_2^{3}\geq 3\): \(m\in(-\infty,-1]\cup(4,+\infty)\).
Uwagi:
1. Jeżeli zdający w którymś z etapów I–II popełni błąd, który nie jest błędem rachunkowym, to za III etap otrzymuje 0 punktów.
2. Jeżeli zdający w etapach I–II nie popełni błędów innych niż rachunkowe i otrzyma zbiory rozwiązań, które nie są rozłączne i żaden z nich nie jest zbiorem liczb rzeczywistych, a następnie poprawnie wyznaczy część wspólną zbiorów rozwiązań z etapów I–II, to za III etap otrzymuje 1 punkt; natomiast jeżeli otrzyma zbiory rozwiązań, które są rozłączne lub co najmniej jeden z nich jest zbiorem liczb rzeczywistych, to za III etap otrzymuje 0 punktów.
3. Jeżeli zdający w II etapie rozwiązania popełni błąd – przyjmie, że \(x_1\cdot x_2=-m\) lub \(x_1+x_2=\pm\frac{b}{2a}\), to za II etap może otrzymać co najwyżej 2 punkty (1 punkt za przekształcenie nierówności \(x_1^{4}+x_2^{4}+4\cdot x_1^{3}\cdot x_2^{3}\geq 3\) do postaci pozwalającej na bezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a oraz 1 punkt za konsekwentne rozwiązanie nierówności do końca), a za III etap otrzymuje 0 punktów.
4. Jeżeli zdający wprowadza dodatkowe założenie, które nie wynika z warunków zadania (np. \(x_1+x_2>0\)), to za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej 4 punkty (co najwyżej 1 punkt za I etap i co najwyżej 3 punkty za II etap).
5. Jeżeli zdający podczas przekształcania nierówności \(x_1^{4}+x_2^{4}+4\cdot x_1^{3}\cdot x_2^{3}\geq 3\) do postaci pozwalającej na zastosowanie wzorów Viète’a popełni błąd, który nie jest błędem rachunkowym, ale otrzyma nierówność, która po poprawnym zastosowaniu wzorów Viète’a prowadzi do nierówności wielomianowej stopnia czwartego, to za II etap może otrzymać co najwyżej 2 punkty (1 punkt za poprawne zastosowanie wzorów Viète’a oraz 1 punkt za konsekwentne rozwiązanie nierówności do końca), a za III etap otrzymuje 0 punktów.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych; tworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących, w celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu.
**Wymagania szczegółowe:**
III.R3) Zdający stosuje wzory Viète’a dla równań kwadratowych;
III.R5) Zdający analizuje równania i nierówności liniowe z parametrami oraz równania i nierówności kwadratowe z parametrami […].
