Okręgi i koła
Zadanie 9, czerwiec 2026, poziom rozszerzony
Pole czworokąta \(ABCD\) wpisanego w okrąg jest równe \(18\). Boki \(AB\) i \(BC\) są prostopadłe, a ponadto \(\lvert AB\rvert=4\) oraz \(\lvert BC\rvert=7\).
Oblicz obwód tego czworokąta. Zapisz obliczenia.
Odpowiedź
Obwód czworokąta jest równy \(20\).
Rozwiązanie krok po kroku
Kąt \(ABC\) jest prosty, więc trójkąt \(ABC\) jest prostokątny i
\[\lvert AC\rvert=\sqrt{4^2+7^2}=\sqrt{65},\qquad P_{ABC}=\tfrac12\cdot4\cdot7=14.\]
Kąt \(ABC\) jest wpisany i ma \(90^\circ\), więc \(AC\) jest średnicą okręgu opisanego na czworokącie. Kąt \(ADC\), oparty na tej samej średnicy, również jest prosty.
Pole czworokąta jest sumą pól trójkątów \(ABC\) i \(ACD\), więc
\[P_{ACD}=18-14=4=\tfrac12\lvert AD\rvert\cdot\lvert DC\rvert,\qquad \lvert AD\rvert\cdot\lvert DC\rvert=8.\]
Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(ACD\)
\[\lvert AD\rvert^2+\lvert DC\rvert^2=65.\]
Stąd
\[\left(\lvert AD\rvert+\lvert DC\rvert\right)^2=65+2\cdot8=81,\qquad \lvert AD\rvert+\lvert DC\rvert=9\]
(bierzemy wartość dodatnią, bo to suma długości).
Obwód:
\[L=4+7+9=20.\]
**Odpowiedź.** Obwód czworokąta jest równy \(20\).
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – zauważenie, że \(AC\) jest średnicą i kąt \(ADC\) jest prosty.
**2–3 pkt** – wyznaczenie \(\lvert AD\rvert\cdot\lvert DC\rvert=8\) oraz \(\lvert AD\rvert^2+\lvert DC\rvert^2=65\).
**4 pkt** – obliczenie obwodu \(L=20\).
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja - stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych.
**Wymagania szczegółowe:**
VIII.R1) Zdający stosuje własności czworokątów wpisanych w okrąg i opisanych na okręgu.
