Równania i nierówności z parametrem
Zadanie 5, czerwiec 2025, poziom rozszerzony
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie
\[x^{2}+2mx+2m-1=0\]
ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1\), \(x_2\) spełniające warunek
\[m(x_1^{2}+x_2^{2})=3m\cdot x_1\cdot x_2+2.\]
Zapisz obliczenia.
Odpowiedź
Warunek dwóch różnych pierwiastków daje \(\Delta=4(m-1)^{2}>0\), czyli \(m\neq1\). Ze wzorów Viète'a \(x_1+x_2=-2m\), \(x_1x_2=2m-1\). Po podstawieniu otrzymujemy \((m-2)(4m^{2}-2m+1)=0\). Drugi czynnik jest dodatni, zatem \(m=2\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Metoda: warunek istnienia dwóch różnych pierwiastków zapisujemy jako \(\Delta\gt 0\), a warunek z treści przepisujemy przez wzory Viète'a, bez wyznaczania samych pierwiastków.
**Krok \(2\).** Dla \(x^{2}+2mx+(2m-1)=0\) wygodnie jest liczyć ćwiartkę wyróżnika:
\[\frac{\Delta}{4}=m^{2}-(2m-1)=m^{2}-2m+1=(m-1)^{2},\qquad \Delta=4(m-1)^{2}.\]
Warunek \(\Delta\gt 0\) jest więc równoważny \(m\neq 1\).
**Krok \(3\).** Ze wzorów Viète'a \(x_{1}+x_{2}=-2m\) oraz \(x_{1}x_{2}=2m-1\).
**Krok \(4\).** Sumę kwadratów wyrażamy przez sumę i iloczyn:
\[x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=4m^{2}-2(2m-1)=4m^{2}-4m+2.\]
**Krok \(5\).** Podstawiamy do warunku \(m\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)=3m\,x_{1}x_{2}+2\):
\[m\left(4m^{2}-4m+2\right)=3m(2m-1)+2,\qquad 4m^{3}-4m^{2}+2m=6m^{2}-3m+2,\]
czyli \(4m^{3}-10m^{2}+5m-2=0\).
**Krok \(6\).** Sprawdzamy dzielniki wyrazu wolnego: dla \(m=2\) lewa strona wynosi \(32-40+10-2=0\), więc \((m-2)\) jest dzielnikiem. Grupujemy:
\[4m^{2}(m-2)-2m(m-2)+(m-2)=0,\qquad (m-2)\left(4m^{2}-2m+1\right)=0.\]
**Krok \(7\).** Trójmian \(4m^{2}-2m+1\) ma wyróżnik \(4-16=-12\lt 0\), a współczynnik wiodący dodatni, więc jest zawsze dodatni i nie ma pierwiastków rzeczywistych. Zostaje \(m=2\).
**Krok \(8\).** Sprawdzamy zgodność z warunkiem z Kroku \(2\): \(2\neq 1\), więc dla \(m=2\) równanie ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste.
**Uwaga.** Wyróżnik \(\Delta=4(m-1)^{2}\) jest kwadratem, więc jest nieujemny dla każdego \(m\) — ostra nierówność \(\Delta\gt 0\) wyklucza wyłącznie \(m=1\). Gdyby rozwiązywać warunek \(\Delta\geq 0\), warunek dwóch różnych pierwiastków zostałby zgubiony.
**Odpowiedź.** \(m=2\).
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – spełnienie następujących trzech warunków: 1) poprawne rozwiązanie warunku \(m(x_1^2+x_2^2)=3m\cdot x_1\cdot x_2+2\): \(m=2\), 2) poprawne rozwiązanie warunku \(\Delta>0\): \(m\in\mathbb{R}\setminus\{1\}\) LUB wyznaczenie wszystkich wartości parametru \(m\), dla których \(x_1\neq x_2\): \(m\neq1\), LUB sprawdzenie, że dla \(m=2\) są spełnione warunki zadania, 3) zapisanie poprawnej odpowiedzi: \(m=2\).
**3 pkt** – poprawnie rozwiązany warunek \(\Delta>0\): \(m\in\mathbb{R}\setminus\{1\}\) oraz zapisanie równania z jedną niewiadomą \(m\), np. \(m\cdot\left[(-2m)^2-2\cdot(2m-1)\right]=3m\cdot(2m-1)+2\)
ALBO
– rozwiązanie warunku \(m(x_1^2+x_2^2)=3m\cdot x_1\cdot x_2+2\): \(m=2\),
ALBO
– zapisanie, że \(x_1\neq x_2\) dla \(m\neq1\) oraz zapisanie równania z jedną niewiadomą \(m\), np. \(m\cdot\left[(-2m)^2-2\cdot(2m-1)\right]=3m\cdot(2m-1)+2\).
**2 pkt** – poprawnie rozwiązany warunek \(\Delta>0\): \(m\in\mathbb{R}\setminus\{1\}\) oraz przekształcenie warunku \(m(x_1^2+x_2^2)=3m\cdot x_1\cdot x_2+2\) do postaci pozwalającej na bezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a, np. \(m\cdot\left[(x_1+x_2)^2-2x_1\cdot x_2\right]=3m\cdot x_1\cdot x_2+2\)
ALBO
– zapisanie równania z jedną niewiadomą \(m\), np. \(m\cdot\left[(-2m)^2-2\cdot(2m-1)\right]=3m\cdot(2m-1)+2\)
ALBO
– wyznaczenie pierwiastków trójmianu \(x^2+2mx+(2m-1)\): \((-1)\) oraz \(1-2m\), oraz zapisanie, że \(x_1\neq x_2\) dla \(m\neq1\).
**1 pkt** – poprawnie rozwiązany warunek \(\Delta>0\): \(m\in\mathbb{R}\setminus\{1\}\)
ALBO
– przekształcenie warunku \(m(x_1^2+x_2^2)=3m\cdot x_1\cdot x_2+2\) do postaci pozwalającej na bezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a, np. \(m\cdot\left[(x_1+x_2)^2-2x_1\cdot x_2\right]=3m\cdot x_1\cdot x_2+2\)
ALBO
– wyznaczenie pierwiastków trójmianu \(x^2+2mx+(2m-1)\): \((-1)\) oraz \(1-2m\).
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwaga.
Jeżeli zdający przyjmie, że \(x_1^2+x_2^2\) jest równe \((x_1+x_2)^2\) oraz doprowadzi rozwiązanie konsekwentnie do końca, to otrzymuje 2 punkty za całe rozwiązanie.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych; tworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących, w celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu.
**Wymagania szczegółowe:**
III.R3) Zdający stosuje wzory Viète’a dla równań kwadratowych;
III.R5) Zdający analizuje równania i nierówności liniowe z parametrami oraz równania i nierówności kwadratowe z parametrami […].
