Wartości funkcji trygonometrycznych
Zadanie 9, czerwiec 2024, poziom rozszerzony
Rozwiąż równanie
\[\sin(6x)+\sqrt3\sin(5x)+\sin(4x)=0.\]
Zapisz obliczenia.
Odpowiedź
\[x=\frac{k\pi}{5}\quad\text{lub}\quad x=-\frac{5\pi}{6}+2k\pi\quad\text{lub}\quad x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Korzystamy ze wzoru na sumę sinusów:
\[\sin6x+\sin4x=2\sin5x\cos x.\]
Równanie przyjmuje postać
\[\sin5x(2\cos x+\sqrt3)=0.\]
Zatem
\[\sin5x=0\quad\text{lub}\quad\cos x=-\frac{\sqrt3}{2}.\]
Pierwsze równanie daje \(5x=k\pi\), czyli \(x=\frac{k\pi}{5}\). Drugie daje
\[x=-\frac{5\pi}{6}+2k\pi\quad\text{lub}\quad x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawna metoda i pełny zbiór rozwiązań
**3 pkt** – poprawne rozwiązanie jednego z równań \(\sin5x=0\) lub \(\cos x=-\frac{\sqrt3}{2}\)
**2 pkt** – przekształcenie równania do alternatywy \(\sin5x=0\) lub \(\cos x=-\frac{\sqrt3}{2}\)
**1 pkt** – poprawne zastosowanie wzorów na sinus sumy i różnicy albo wzoru na sumę sinusów
**0 pkt** – rozwiązanie z niepoprawną metodą albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
6. R6) Zdający rozwiązuje równania trygonometryczne.
