Wartości funkcji trygonometrycznych
Zadanie 8, czerwiec 2024, poziom rozszerzony
W okrąg o promieniu \(4\) wpisano trójkąt \(ABC\). Bok \(AB\) ma długość \(6\), a bok \(BC\) ma długość \(4\sqrt3\) i jest najdłuższym bokiem tego trójkąta.
Oblicz długość boku \(AC\). Zapisz obliczenia.
Odpowiedź
\[|AC|=\sqrt{21}-3.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(R=4\). Z twierdzenia sinusów
\[\sin|\angle BAC|=\frac{|BC|}{2R}=\frac{4\sqrt3}{8}=\frac{\sqrt3}{2}.\]
Ponieważ \(BC\) jest najdłuższym bokiem trójkąta, kąt \(BAC\) jest największy, więc \(|\angle BAC|=120^{\circ}\). Oznaczmy \(x=|AC|\). Z twierdzenia cosinusów
\[(4\sqrt3)^2=6^2+x^2-2\cdot6x\cos120^{\circ}.\]
Stąd
\[48=36+x^2+6x,\qquad x^2+6x-12=0.\]
Dodatnim rozwiązaniem jest
\[x=-3+\sqrt{21}.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik \(\sqrt{21}-3\)
**3 pkt** – zapisanie poprawnego równania z jedną niewiadomą i obliczenie długości \(AC\)
**2 pkt** – zapisanie równania z dwiema niewiadomymi prowadzącego do wyniku albo obliczenie potrzebnej wartości sinusa kąta
**1 pkt** – obliczenie \(\sin|\angle BAC|=\frac{\sqrt3}{2}\) lub wskazanie miary kąta \(BAC\)
**0 pkt** – rozwiązanie z niepoprawną metodą albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
7. R4) Zdający znajduje związki miarowe w figurach płaskich z zastosowaniem twierdzenia sinusów i twierdzenia cosinusów.
