Wartości funkcji trygonometrycznych
Zadanie 10, czerwiec 2024, poziom rozszerzony
Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość \(a\). Sinus kąta między przekątnymi dwóch ścian bocznych, wychodzącymi z jednego wierzchołka graniastosłupa, jest równy
\[\frac{\sqrt{11}}6.\]
Wyznacz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa. Zapisz obliczenia.
Odpowiedź
\[P_c=\frac{\sqrt3}{2}a^2+3\sqrt2a^2.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(H\) oznacza wysokość graniastosłupa, a \(\alpha\) kąt między wskazanymi przekątnymi. Ponieważ \(\sin\alpha=\frac{\sqrt{11}}6\) i \(\alpha\) jest ostry,
\[\cos\alpha=\sqrt{1-\frac{11}{36}}=\frac56.\]
Każda z przekątnych ściany bocznej ma długość \(\sqrt{H^2+a^2}\). Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta utworzonego przez te przekątne i krawędź podstawy
\[2(H^2+a^2)-2(H^2+a^2)\cdot\frac56=a^2.\]
Stąd \(H^2=2a^2\), czyli \(H=a\sqrt2\). Pole całkowite wynosi
\[P_c=2\cdot\frac{a^2\sqrt3}{4}+3aH=\frac{\sqrt3}{2}a^2+3\sqrt2a^2.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawna metoda i wynik \(\frac{\sqrt3}{2}a^2+3\sqrt2a^2\)
**3 pkt** – wyznaczenie wysokości graniastosłupa \(H=a\sqrt2\)
**2 pkt** – zapisanie poprawnego równania z jedną niewiadomą prowadzącego do wysokości
**1 pkt** – obliczenie \(\cos\alpha=\frac56\) albo poprawne zastosowanie twierdzenia cosinusów do odpowiedniego trójkąta
**0 pkt** – rozwiązanie z niepoprawną metodą albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
**Wymagania szczegółowe:**
9.1) Zdający rozpoznaje w graniastosłupach kąty między odcinkami.
9.3) Zdający stosuje trygonometrię do obliczeń długości odcinków i pól powierzchni.
