Trójkąty
Zadanie 9, czerwiec 2023, poziom rozszerzony
W okrąg o równaniu
\[(x-1)^2+(y-2)^2=25\]
wpisano trójkąt \(ABC\). Bok \(AB\) tego trójkąta jest zawarty w prostej o równaniu
\[4x-3y+2=0.\]
Wysokość \(CD\) tego trójkąta dzieli bok \(AB\) tak, że
\[|AD|=4\cdot|DB|.\]
**Oblicz pole trójkąta \(ABC\). Zapisz obliczenia.**
Odpowiedź
\[P_{ABC}=20.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Środkiem danego okręgu jest punkt \(S=(1,2)\). Sprawdzamy, że leży on na prostej zawierającej bok \(AB\):
\[4\cdot1-3\cdot2+2=0.\]
Zatem \(AB\) jest średnicą okręgu, więc
\[|AB|=10.\]
Z warunku \(|AD|=4|DB|\) i równości \(|AD|+|DB|=10\) wynika
\[|AD|=8,\qquad |DB|=2.\]
Kąt \(ACB\) jest kątem wpisanym opartym na średnicy, więc jest prosty. Dla wysokości opuszczonej na przeciwprostokątną:
\[|CD|^2=|AD|\cdot|DB|=8\cdot2,\]
\[|CD|=4.\]
Pole trójkąta wynosi
\[P_{ABC}=\frac12|AB|\cdot|CD|=\frac12\cdot10\cdot4=20.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawna metoda i wynik \(P=20\)
**3 pkt** – obliczenie \(|CD|=4\)
**2 pkt** – obliczenie \(|AD|=8\) oraz \(|DB|=2\)
**1 pkt** – zapisanie, że \(AB\) jest średnicą okręgu, albo że \(S=(1,2)\) leży na prostej \(4x-3y+2=0\)
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja; 3. Dobieranie argumentów do uzasadnienia poprawności rozwiązywania problemów, tworzenie ciągu argumentów gwarantujących poprawność rozwiązania i skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań zagadnienia; 4. Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych.
**Wymagania szczegółowe:**
VIII.5) Zdający stosuje własności kątów wpisanych i środkowych.
IX.4) Zdający posługuje się równaniem okręgu \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\).
