Trygonometria
Zadanie 12, czerwiec 2022, poziom rozszerzony
Podstawą graniastosłupa prostego \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) jest trapez równoramienny \(ABCD\) wpisany w okrąg o środku \(O\) i promieniu \(R\). Dłuższa podstawa \(AB\) trapezu jest średnicą tego okręgu, a krótsza - cięciwą odpowiadającą kątowi środkowemu o mierze \(2\alpha\) (zobacz rysunek). Przekątna ściany bocznej zawierającej ramię trapezu jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem o mierze \(\alpha\). **Wyznacz objętość tego graniastosłupa jako funkcję promienia \(R\) i miary kąta \(\alpha\).**
Odpowiedź
\[V(R,\alpha)=R^3\sin\alpha(1+\sin\alpha)\sqrt{2-2\sin\alpha}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Długości podstaw trapezu wynoszą
\[|AB|=2R,\qquad |CD|=2R\sin\alpha,\]
a jego wysokość jest równa \(R\cos\alpha\). Zatem pole podstawy graniastosłupa ma wartość
\[P_p=R^2(1+\sin\alpha)\cos\alpha.\]
Ramię trapezu ma długość
\[|AD|=R\sqrt{2-2\sin\alpha}.\]
Jeżeli \(H\) oznacza wysokość graniastosłupa, to z nachylenia przekątnej ściany bocznej otrzymujemy
\[\operatorname{tg}\alpha=\frac{H}{|AD|},\qquad H=R\sqrt{2-2\sin\alpha}\operatorname{tg}\alpha.\]
Wobec tego
\[V=P_pH=R^3\sin\alpha(1+\sin\alpha)\sqrt{2-2\sin\alpha}.\]
Klucz i zasady oceniania
**5 pkt** – poprawne wyznaczenie objętości jako funkcji \(R\) i \(\alpha\)
**4 pkt** – poprawne pole podstawy i wysokość graniastosłupa, lecz błąd rachunkowy w końcowym wzorze
**3 pkt** – wyznaczenie \(|AD|=R\sqrt{2-2\sin\alpha}\) oraz zależności \(H=|AD|\operatorname{tg}\alpha\)
**2 pkt** – poprawne wyznaczenie pola trapezu albo wysokości graniastosłupa
**1 pkt** – poprawne wyznaczenie co najmniej dwóch podstawowych długości w trapezie
**0 pkt** – brak poprawnego postępu
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
9.1 i 9.3 rozpoznawanie kątów w graniastosłupach oraz stosowanie trygonometrii do obliczania długości, pól i objętości.
