Wartości funkcji trygonometrycznych
Zadanie 8, czerwiec 2021, poziom rozszerzony
Rozwiąż równanie \(2\cos^{2}x-\cos x=\sin(2x)-\sin x w\) przedziale ⟨\(0\),\(2\pi \)⟩.
Odpowiedź
\[x\in\left\{\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{3},\tfrac{5\pi}{4},\tfrac{5\pi}{3}\right\}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Korzystamy ze wzoru \(\sin(2x)=2\sin x\cos x\) i przenosimy wszystko na lewą stronę:
\[2\cos^{2}x-\cos x-2\sin x\cos x+\sin x=0.\]
Grupujemy wyrazy i wyłączamy wspólne czynniki:
\[\cos x\left(2\cos x-1\right)-\sin x\left(2\cos x-1\right)=\left(2\cos x-1\right)\left(\cos x-\sin x\right)=0.\]
Zatem \(\cos x=\tfrac12\) lub \(\sin x=\cos x\).
W przedziale \(\langle0,2\pi\rangle\):
- \(\cos x=\tfrac12\) daje \(x=\tfrac{\pi}{3}\) oraz \(x=\tfrac{5\pi}{3}\),
- \(\sin x=\cos x\) zachodzi tylko dla \(\cos x\neq0\) i jest równoważne \(\operatorname{tg}x=1\), skąd \(x=\tfrac{\pi}{4}\) oraz \(x=\tfrac{5\pi}{4}\).
**Odpowiedź.** \(x\in\left\{\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{3},\dfrac{5\pi}{4},\dfrac{5\pi}{3}\right\}\).
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – gdy zapisze równanie w postaci, w której występują funkcje trygonometryczne tego samego kąta, np.: \(2\cos^{2}x-\cos x=2\sin x\cos x-\sin x\).
**2 pkt** – gdy zapisze alternatywę równań \(\cos x-\sin x=0\) lub \(2\cos x-1=0\).
**3 pkt** – gdy wyznaczy rozwiązania jednego z równań \(\cos x=\frac{1}{2}\) lub \(\cos x=\sin x\) w przedziale \(\langle 0,\,2\pi\rangle\) lub w \(R\).
**4 pkt** – gdy wyznaczy rozwiązania obu równań \(\cos x=\frac{1}{2}\) oraz \(\cos x=\sin x\) w przedziale \(\langle 0,\,2\pi\rangle\): \(x=\frac{1}{3}\pi\) lub \(x=\frac{5}{3}\pi\) lub \(x=\frac{1}{4}\pi\) lub \(x=\frac{5}{4}\pi\).
**Uwagi:**
1. Jeżeli zdający podzieli równanie przez \((\cos x-\sin x)\) albo przez \((2\cos x-1)\) bez stosownych założeń i nie rozważy przypadków, gdy to wyrażenie jest równe zero, to otrzymuje co najwyżej \(2\) punkty za całe rozwiązanie.
2. Jeżeli zdający przed uzyskaniem trygonometrycznych równań elementarnych popełni błędy rachunkowe i otrzyma równania elementarne, z których co najmniej jedno ma dwie serie rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych, to otrzymuje co najwyżej \(3\) punkty za całe rozwiązanie.
Wymagania podstawy programowej
Klasyfikacja rzeczowa: przekształcanie i rozwiązywanie równań trygonometrycznych z użyciem wzorów na podwojony kąt.
