Zadanie 9 – matura z matematyki czerwiec 2021, poziom rozszerzony

\(P_{1}=(-2,2)\) oraz \(P_{2}=\left(\frac{2}{5},\frac{22}{5}\right)\). Dla \(P=(x,x+4)\) odległości od prostych \(k\) i \(l\) są równe odpowiednio \(\frac{\lvert x+8\rvert}{\sqrt5}\) oraz \(\frac{\lvert 3x+3\rvert}{\sqrt5}\), a warunek zadania daje równanie \(\lvert x+8\rvert=2\lvert 3x+3\rvert\).

**Krok \(1\).** Metoda: korzystamy ze wzoru na odległość punktu \((x_{0},y_{0})\) od prostej \(Ax+By+C=0\): \[d=\frac{\lvert Ax_{0}+By_{0}+C\rvert}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}.\] Ponieważ punkt \(P\) leży na prostej \(y=x+4\), obie odległości wyrazimy przez jedną zmienną. **Krok \(2\).** Zapisujemy współrzędne punktu \(P\) w zależności od jednej zmiennej: \(P=(x,\ x+4)\). **Krok \(3\).** Obliczamy odległość \(P\) od prostej \(k\colon x-2y=0\): \[d(P,k)=\frac{\lvert x-2(x+4)\rvert}{\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}}}=\frac{\lvert -x-8\rvert}{\sqrt5}=\frac{\lvert x+8\rvert}{\sqrt5}.\] **Krok \(4\).** Obliczamy odległość \(P\) od prostej \(l\colon 2x+y-1=0\): \[d(P,l)=\frac{\lvert 2x+(x+4)-1\rvert}{\sqrt{2^{2}+1^{2}}}=\frac{\lvert 3x+3\rvert}{\sqrt5}.\] **Krok \(5\).** Zapisujemy warunek zadania \(d(P,k)=2\cdot d(P,l)\): \[\frac{\lvert x+8\rvert}{\sqrt5}=2\cdot\frac{\lvert 3x+3\rvert}{\sqrt5},\] a po pomnożeniu obu stron przez \(\sqrt5\): \[\lvert x+8\rvert=\lvert 6x+6\rvert.\] **Krok \(6\).** Równość modułów oznacza, że wyrażenia są równe albo przeciwne: \[x+8=6x+6\qquad\text{lub}\qquad x+8=-(6x+6).\] **Krok \(7\).** Rozwiązujemy oba przypadki: \[5x=2\ \Rightarrow\ x=\frac{2}{5},\qquad\qquad 7x=-14\ \Rightarrow\ x=-2.\] **Krok \(8\).** Wyznaczamy drugie współrzędne ze wzoru \(y=x+4\): \[x=-2\ \Rightarrow\ P=(-2,\,2),\qquad x=\frac{2}{5}\ \Rightarrow\ P=\left(\frac{2}{5},\ \frac{22}{5}\right).\] **Uwaga.** Wartości bezwzględnej nie wolno pominąć: równanie \(x+8=6x+6\) daje tylko jedno z dwóch rozwiązań. Drugi przypadek (wyrażenia przeciwne) to drugi punkt, którego łatwo nie zauważyć. **Odpowiedź.** Warunki zadania spełniają dwa punkty: \(P_{1}=(-2,2)\) oraz \(P_{2}=\left(\frac{2}{5},\frac{22}{5}\right)\).

**1 pkt** – gdy zapisze odległość punktu \(P=(x_../../,\,y_../../)\) od jednej z prostych, np.: \(\frac{\lvert x_../../-2y_../../\rvert}{\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}}}\) lub \(\frac{\lvert 2x_../../+y_../../-1\rvert}{\sqrt{2^{2}+1^{2}}}\) i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. **2 pkt** – gdy wyznaczy odległość punktu \(P=(x_../../,\,y_../../)\) od jednej z prostych w zależności od jednej zmiennej, np. \(\frac{\lvert x_../../-2(x_../../+4)\rvert}{\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}}}\) lub \(\frac{\lvert 2x_../../+(x_../../+4)-1\rvert}{\sqrt{2^{2}+1^{2}}}\) lub \(\frac{\lvert (y_../../-4)-2y_../../\rvert}{\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}}}\) lub \(\frac{\lvert 2(y_../../-4)+y_../../-1\rvert}{\sqrt{2^{2}+1^{2}}}\) i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. **3 pkt** – gdy zapisze równanie z jedną niewiadomą, opisujące zależność między odległościami punktu \(P=(x_../../,\,y_../../)\) od obu prostych, np.: \(\frac{\lvert x_../../-2(x_../../+4)\rvert}{\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}}}=2\cdot\frac{\lvert 2x_../../+(x_../../+4)-1\rvert}{\sqrt{2^{2}+1^{2}}}\) lub \(\frac{\lvert (y_../../-4)-2y_../../\rvert}{\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}}}=2\cdot\frac{\lvert 2(y_../../-4)+y_../../-1\rvert}{\sqrt{2^{2}+1^{2}}}\) i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. **4 pkt** – gdy obliczy i zapisze współrzędne punktu \(P\): \(P=(-2,\,2)\) oraz \(P=\left(\frac{2}{5},\,\frac{22}{5}\right)\). **Uwagi:** 1. Jeśli zdający zapisuje równanie „odległości” i w tym równaniu pomija zupełnie symbol wartości bezwzględnej, to za całe rozwiązanie otrzymuje \(0\) punktów. 2. Jeśli zdający sporządzi rysunek, zapisze współrzędne jednego z szukanych punktów \((-2,\,2)\), obliczy odległości punktu \((-2,\,2)\) od prostych \(k\) i \(l\) oraz zapisze, że odległość tego punktu od prostej \(k\) jest dwa razy większa niż odległość tego punktu od prostej \(l\), to otrzymuje \(1\) punkt za całe rozwiązanie.

Klasyfikacja rzeczowa: stosowanie wzoru na odległość punktu od prostej i rozwiązywanie równania z wartością bezwzględną.