Trójkąty
Zadanie 7, czerwiec 2021, poziom rozszerzony
W trójkącie \(ABC\) na boku \(AB\) obrano punkty \(D\), \(E\) i \(F\) tak, że
\[|AD|=|DE|=|EF|=2|FB|.\]
Na bokach \(AC\) i \(BC\) obrano odpowiednio punkty \(G\) i \(H\) tak, że \(DG\parallel EC\) oraz \(FH\parallel EC\). Wykaż, że jeżeli pole trójkąta \(FBH\) jest równe \(S\), to pole trójkąta \(ADG\) jest równe \(3S\).
Odpowiedź
\[P_{ADG}=3S.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(|FB|=x\). Wtedy
\[|AD|=|DE|=|EF|=2x,\qquad |EB|=3x,\qquad |AE|=4x.\]
Z równoległości \(FH\parallel EC\) trójkąty \(FBH\) i \(EBC\) są podobne w skali \(1:3\), więc stosunek ich pól jest równy \(1:9\). Stąd
\[P_{EBC}=9S.\]
Trójkąty \(AEC\) i \(EBC\) mają wspólną wysokość opuszczoną z \(C\) na prostą \(AB\), zatem
\[\frac{P_{AEC}}{P_{EBC}}=\frac{|AE|}{|EB|}=\frac43,\qquad P_{AEC}=12S.\]
Z równoległości \(DG\parallel EC\) trójkąty \(ADG\) i \(AEC\) są podobne w skali
\[\frac{|AD|}{|AE|}=\frac12.\]
Ich pola są więc w stosunku \(1:4\), czyli
\[P_{ADG}=\frac14P_{AEC}=\frac14\cdot12S=3S.\]
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – pełny poprawny dowód, zakończony równością \(P_{ADG}=3S\)
**2 pkt** – zapisanie dwóch poprawnych zależności potrzebnych w dowodzie, wynikających z podobieństwa trójkątów lub porównania pól
**1 pkt** – zapisanie jednej poprawnej zależności, np. \(P_{EBC}=9S\), \(P_{AEC}/P_{EBC}=4/3\) albo \(P_{AEC}=4P_{ADG}\)
**0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. rozumowanie i argumentacja - tworzenie łańcucha zależności prowadzącego do tezy.
**Wymagania szczegółowe:**
stosowanie podobieństwa trójkątów, własności prostych równoległych oraz zależności między polami figur podobnych i trójkątów o wspólnej wysokości.
