Wartości funkcji trygonometrycznych
Zadanie 9, czerwiec 2020, poziom rozszerzony
Rozwiąż równanie
\[3\cos(2x)+10\cos^2x=24\sin x-3\]
w przedziale \(\langle0,2\pi\rangle\).
Odpowiedź
\[x\in\left\{\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\right\}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Korzystamy z tożsamości \(\cos(2x)=1-2\sin^2x\) oraz \(\cos^2x=1-\sin^2x\):
\[3(1-2\sin^2x)+10(1-\sin^2x)=24\sin x-3.\]
Po uporządkowaniu otrzymujemy
\[16\sin^2x+24\sin x-16=0,\]
\[2\sin^2x+3\sin x-2=0.\]
Niech \(t=\sin x\). Wtedy
\[2t^2+3t-2=(2t-1)(t+2)=0,\]
czyli \(t=\frac12\) lub \(t=-2\). Równanie \(\sin x=-2\) nie ma rozwiązań. W przedziale \(\langle0,2\pi\rangle\) równanie \(\sin x=\frac12\) ma rozwiązania
\[x=\frac{\pi}{6}\quad\text{lub}\quad x=\frac{5\pi}{6}.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – wyznaczenie obu rozwiązań: \(x=\frac{\pi}{6}\) i \(x=\frac{5\pi}{6}\)
**3 pkt** – odrzucenie równania \(\sin x=-2\) i podanie co najmniej jednej serii rozwiązań równania \(\sin x=\frac12\) albo jednego rozwiązania z zadanego przedziału
**2 pkt** – rozwiązanie równania kwadratowego \(2t^2+3t-2=0\) i otrzymanie \(t=-2\) oraz \(t=\frac12\)
**1 pkt** – sprowadzenie równania do postaci zawierającej tylko jedną funkcję trygonometryczną tego samego kąta
**0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
R6.6 rozwiązywanie równań i nierówności trygonometrycznych.
