Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 8, czerwiec 2020, poziom rozszerzony
Liczby dodatnie \(a\) i \(b\) spełniają równość
\[a^2+2a=4b^2+4b.\]
Wykaż, że \(a=2b\).
Odpowiedź
\[a=2b.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Do obu stron równości z założenia dodajemy \(1\):
\[a^2+2a+1=4b^2+4b+1.\]
Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia, otrzymujemy
\[(a+1)^2=(2b+1)^2.\]
Liczby \(a\) i \(b\) są dodatnie, więc \(a+1>0\) oraz \(2b+1>0\). Z równości kwadratów tych dodatnich liczb wynika
\[a+1=2b+1,\]
a stąd \(a=2b\), co należało wykazać.
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – zapisanie pełnego uzasadnienia, że \(a=2b\)
**2 pkt** – otrzymanie wniosku \(a=2b\), ale bez pełnego uzasadnienia wykorzystującego dodatniość liczb
**1 pkt** – przekształcenie warunku do postaci \((a+1)^2=(2b+1)^2\) albo równoważnego iloczynu \((a-2b)(a+2b+2)=0\)
**0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
V. rozumowanie i argumentacja.
**Wymagania szczegółowe:**
2.1 stosowanie wzorów skróconego mnożenia dla kwadratu sumy i różnicy kwadratów.
