Równania i nierówności z parametrem
Zadanie 11, czerwiec 2020, poziom rozszerzony
Dane jest równanie
\[x^2-(3m+2)x+2m^2+7m-15=0.\]
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie to ma dwa różne rozwiązania \(x_1\), \(x_2\) spełniające warunek
\[2x_1^2+5x_1x_2+2x_2^2=2.\]
Odpowiedź
\[m\in\left\{-\frac95,\frac14\right\}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Wyróżnik trójmianu jest równy
\[\Delta=(3m+2)^2-4(2m^2+7m-15)=m^2-16m+64=(m-8)^2.\]
Równanie ma dwa różne rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy \(m\neq8\). Ze wzorów Viète'a
\[x_1+x_2=3m+2,\qquad x_1x_2=2m^2+7m-15.\]
Przekształcamy warunek zadania:
\[2x_1^2+5x_1x_2+2x_2^2=2(x_1+x_2)^2+x_1x_2.\]
Stąd
\[2(3m+2)^2+(2m^2+7m-15)=2,\]\[20m^2+31m-9=0.\]
Wyróżnik tego równania wynosi \(31^2+4\cdot20\cdot9=1681=41^2\), więc
\[m=\frac{-31-41}{40}=-\frac95\quad\text{lub}\quad m=\frac{-31+41}{40}=\frac14.\]
Obie wartości są różne od \(8\), zatem dla każdej z nich równanie wyjściowe ma dwa różne rozwiązania.
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – wyznaczenie \(m=-\frac95\) i \(m=\frac14\) oraz sprawdzenie warunku dwóch różnych rozwiązań
**3 pkt** – rozwiązanie równania \(20m^2+31m-9=0\) i otrzymanie obu wartości parametru
**2 pkt** – zapisanie warunku jako równania jednej niewiadomej \(m\), np. \(2(3m+2)^2+2m^2+7m-15=2\)
**1 pkt** – przekształcenie wyrażenia do postaci \(2(x_1+x_2)^2+x_1x_2\) albo wyznaczenie pierwiastków trójmianu w zależności od \(m\). Dodatkowy punkt części pierwszej przysługuje za warunek \(m\neq8\) lub jego sprawdzenie dla uzyskanych wartości
**0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. modelowanie matematyczne.
**Wymagania szczegółowe:**
R3.1 stosowanie wzorów Viète'a.
