Wartości funkcji trygonometrycznych
Zadanie 14, czerwiec 2019, poziom rozszerzony
Rozwiąż równanie
\[4\sin7x\cos2x=2\sin9x-1\]
w przedziale \((0,\pi)\).
Odpowiedź
\[x\in\left\{\frac{7\pi}{30},\frac{11\pi}{30},\frac{19\pi}{30},\frac{23\pi}{30}\right\}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Korzystamy ze wzoru na sumę sinusów:
\[2\sin7x\cos2x=\sin9x+\sin5x.\]
Po podzieleniu równania przez \(2\) otrzymujemy
\[2\sin7x\cos2x=\sin9x-\frac12,\]
a zatem
\[\sin9x+\sin5x=\sin9x-\frac12,\]
\[\sin5x=-\frac12.\]
Stąd
\[5x=\frac{7\pi}{6}+2k\pi\quad\text{lub}\quad5x=\frac{11\pi}{6}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z.\]
Po wybraniu wartości należących do \((0,\pi)\) dostajemy
\[x\in\left\{\frac{7\pi}{30},\frac{11\pi}{30},\frac{19\pi}{30},\frac{23\pi}{30}\right\}.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – podanie wszystkich czterech rozwiązań w przedziale \((0,\pi)\)
**3 pkt** – zapisanie obu rodzin rozwiązań równania \(\sin5x=-\frac12\) w zbiorze liczb rzeczywistych
**2 pkt** – sprowadzenie równania do postaci \(\sin5x=-\frac12\)
**1 pkt** – poprawne zastosowanie wzoru \(\sin9x+\sin5x=2\sin7x\cos2x\)
**0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
Klucz CKE dla czerwca 2019 nie zawiera tabeli wymagań.
**Klasyfikacja rzeczowa:** trygonometria - wzory przekształcające i równania trygonometryczne.
