Czworokąty
Zadanie 13, czerwiec 2019, poziom rozszerzony
Punkt \(A=(-2{,}6)\) jest wierzchołkiem rombu ABCD o polu \(90\). Przekątna BD zawiera się w prostej \(2x-y-5=0\). Wyznacz długość boku tego rombu.
Odczyt redakcyjny — treść w arkuszu jest uszkodzona
Prawdopodobny zapis: \(A=(-2,6)\) — para współrzędnych, nie liczba \(-2{,}6\).
w zapisie zastanym współrzędne rozdzielono makrem \(\{,\}\); podana w kluczu długość boku \(3\sqrt{10}\) i punkt \(C=(10,0)\) wychodzą tylko przy odczycie \(A=(-2,6)\).Odpowiedź
Długość boku rombu jest równa \(3\sqrt{10}\).
Rozwiązanie krok po kroku
Przekątne rombu są prostopadłe i przecinają się w połowie. Punkt \(S\) przecięcia jest więc spodkiem prostopadłej poprowadzonej z \(A\) do prostej zawierającej \(BD\).
Odległość punktu \(A=(-2,6)\) od prostej \(2x-y-5=0\):
\[\lvert AS\rvert=\frac{\lvert 2\cdot(-2)-6-5\rvert}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\frac{15}{\sqrt5}=3\sqrt5.\]
Zatem \(\lvert AC\rvert=2\lvert AS\rvert=6\sqrt5\).
Pole rombu jest połową iloczynu przekątnych:
\[90=\tfrac12\cdot6\sqrt5\cdot\lvert BD\rvert,\qquad \lvert BD\rvert=\frac{180}{6\sqrt5}=6\sqrt5.\]
Połówki przekątnych mają długości \(3\sqrt5\) i \(3\sqrt5\), a tworzą przyprostokątne trójkąta prostokątnego, którego przeciwprostokątną jest bok rombu:
\[a=\sqrt{\left(3\sqrt5\right)^2+\left(3\sqrt5\right)^2}=\sqrt{90}=3\sqrt{10}.\]
**Odpowiedź.** Bok rombu ma długość \(3\sqrt{10}\).
Klucz i zasady oceniania
**1–2 pkt** – obliczenie odległości \(\lvert AS\rvert=3\sqrt5\) i długości \(\lvert AC\rvert=6\sqrt5\).
**3–5 pkt** – wyznaczenie \(\lvert BD\rvert=6\sqrt5\) z pola rombu.
**6 pkt** – obliczenie długości boku \(3\sqrt{10}\).
Wymagania podstawy programowej
Klasyfikacja rzeczowa: wykorzystywanie prostopadłości prostych, odległości punktów, własności przekątnych i pola rombu w geometrii analitycznej.
