Odczytywanie własności z wykresu
Zadanie 15, czerwiec 2019, poziom rozszerzony
Dany jest okrąg o środku \(S\) i promieniu \(18\). Rozpatrujemy pary okręgów: jeden o środku \(S_1\) i promieniu \(x\) oraz drugi o środku \(S_2\) i promieniu \(2x\), o których wiadomo, że spełniają jednocześnie następujące warunki:
- rozważane dwa okręgi są styczne zewnętrznie;
- obydwa rozważane okręgi są styczne wewnętrznie do okręgu o środku \(S\) i promieniu \(18\);
- punkty \(S,S_1,S_2\) nie leżą na jednej prostej.
Pole trójkąta o bokach \(a,b,c\) można obliczyć ze wzoru Herona
\[P=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},\]
gdzie \(p\) jest połową obwodu trójkąta.
Zapisz pole trójkąta \(SS_1S_2\) jako funkcję zmiennej \(x\). Wyznacz dziedzinę tej funkcji i oblicz długości boków tego z rozważanych trójkątów, którego pole jest największe. Oblicz to największe pole.
Odpowiedź
\[P(x)=\sqrt{108x^2(6-x)},\qquad x\in(0,6).\]
Największe pole jest osiągane dla \(x=4\). Wtedy boki trójkąta mają długości \(14,10,12\), a pole wynosi
\[P_{\max}=24\sqrt6.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Ze styczności okręgów otrzymujemy długości boków trójkąta:
\[|SS_1|=18-x,\qquad |SS_2|=18-2x,\qquad |S_1S_2|=3x.\]
Ich suma jest równa \(36\), więc połowa obwodu wynosi \(p=18\). Ze wzoru Herona
\[P(x)=\sqrt{18\cdot x\cdot2x\cdot(18-3x)}=\sqrt{108x^2(6-x)}.\]
Warunki istnienia niezdegenerowanego trójkąta prowadzą do dziedziny \(x\in(0,6)\). Ponieważ pierwiastek jest funkcją rosnącą, maksymalizujemy
\[f(x)=x^2(6-x)=-x^3+6x^2.\]
Pochodna jest równa
\[f'(x)=-3x^2+12x=-3x(x-4).\]
W przedziale \((0,4)\) jest dodatnia, a w \((4,6)\) ujemna, więc maksimum jest dla \(x=4\). Wtedy
\[|SS_1|=14,\qquad |SS_2|=10,\qquad |S_1S_2|=12,\]
a największe pole wynosi
\[P(4)=\sqrt{108\cdot16\cdot2}=24\sqrt6.\]
Klucz i zasady oceniania
**7 pkt** – pełne rozwiązanie: poprawna funkcja i dziedzina, uzasadnione maksimum dla \(x=4\), boki \(14,10,12\) oraz pole \(24\sqrt6\)
**6 pkt** – wykonanie obu pierwszych etapów klucza CKE, bez pełnego zakończenia obliczeń boków i pola
**4: 5 pkt** – poprawne wyznaczenie funkcji i dziedziny oraz częściowe lub pełne badanie jej maksimum
**1: 3 pkt** – po jednym punkcie za: długości boków wynikające ze styczności, wzór \(P(x)=\sqrt{108x^2(6-x)}\), dziedzinę \(0<x<6\)
**0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
Klucz CKE dla czerwca 2019 nie zawiera tabeli wymagań.
**Klasyfikacja rzeczowa:** geometria i optymalizacja - styczność okręgów, wzór Herona, dziedzina funkcji i badanie maksimum za pomocą pochodnej.
