Wartości funkcji trygonometrycznych
Zadanie 11, czerwiec 2017, poziom rozszerzony
Rozwiąż równanie
\[3\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)+\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1\]
w przedziale \(\langle0,2\pi\rangle\).
Odpowiedź
\[x\in\left\{\frac{5\pi}{12},\frac{13\pi}{12}\right\}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Korzystamy ze wzoru \(\cos\alpha=\sin(\frac\pi2-\alpha)\):
\[\cos\left(x+\frac\pi4\right)=\sin\left(\frac\pi4-x\right)=-\sin\left(x-\frac\pi4\right).\]
Równanie jest więc równoważne
\[2\sin\left(x-\frac\pi4\right)=1,\qquad \sin\left(x-\frac\pi4\right)=\frac12.\]
Stąd
\[x=\frac{5\pi}{12}+2k\pi\quad\text{lub}\quad x=\frac{13\pi}{12}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z.\]
W przedziale \(\langle0,2\pi\rangle\) otrzymujemy \(x=\frac{5\pi}{12}\) lub \(x=\frac{13\pi}{12}\).
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – podanie obu rozwiązań z przedziału: \(\frac{5\pi}{12}\) i \(\frac{13\pi}{12}\)
**3 pkt** – rozwiązanie równania w zbiorze liczb rzeczywistych: \(x=\frac{5\pi}{12}+2k\pi\) lub \(x=\frac{13\pi}{12}+2k\pi\), gdzie \(k\in\mathbb Z\)
**2 pkt** – doprowadzenie do \(\sin(x-\frac\pi4)=\frac12\)
**1 pkt** – poprawne użycie wzoru redukcyjnego, prowadzące do równania \(3\sin(x-\frac\pi4)+\sin(\frac\pi2-(x+\frac\pi4))=1\)
**0 pkt** – brak koniecznego postępu
Wymagania podstawy programowej
**Klasyfikacja CKE:** trygonometria - wzory redukcyjne i rozwiązywanie równań trygonometrycznych w przedziale.
