Liczby rzeczywiste
Zadanie 9, czerwiec 2017, poziom rozszerzony
Z cyfr \(0\), \(1\), \(2\) tworzymy pięciocyfrowe dodatnie liczby całkowite podzielne przez \(15\). Oblicz, ile takich liczb można utworzyć.
Odpowiedź
Można utworzyć \(18\) takich liczb. Ostatnią cyfrą musi być \(0\), a suma cyfr musi być podzielna przez \(3\). Możliwe układy cyfr to \(11100\), \(22200\), \(11220\) i \(12000\) wraz z ich dopuszczalnymi permutacjami; dają odpowiednio \(3+3+6+6=18\) liczb.
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Podzielność przez \(15\) rozkładamy na dwa niezależne warunki: liczba musi być podzielna przez \(5\) i przez \(3\). Do każdego z nich mamy prostą cechę podzielności, a to zamienia zadanie na zliczanie ustawień cyfr.
**Krok \(2\).** Podzielność przez \(5\) oznacza, że ostatnia cyfra to \(0\) albo \(5\). Do dyspozycji mamy tylko cyfry \(0\), \(1\), \(2\), więc ostatnia cyfra musi być zerem. Zostają cztery pierwsze cyfry, przy czym pierwsza nie może być zerem (liczba ma być pięciocyfrowa).
**Krok \(3\).** Podzielność przez \(3\) oznacza, że suma wszystkich cyfr dzieli się przez \(3\). Ostatnia cyfra to \(0\), więc liczy się suma czterech pierwszych cyfr. Każda z nich to \(0\), \(1\) albo \(2\), więc suma mieści się między \(0\) a \(8\), a podzielne przez \(3\) są tylko \(0\), \(3\) i \(6\).
**Krok \(4\).** Suma \(0\) oznaczałaby cztery zera, czyli liczbę \(00000\) — to nie jest liczba pięciocyfrowa, więc ten przypadek odpada. Zostają sumy \(3\) i \(6\).
**Krok \(5\).** Suma \(3\) daje dwa zestawy czterech cyfr: \(\{1,1,1,0\}\) oraz \(\{2,1,0,0\}\).
**Krok \(6\).** Zestaw \(\{1,1,1,0\}\): zero nie może stać na pierwszym miejscu, więc wybieramy dla niego jedno z trzech pozostałych miejsc, a jedynki wypełniają resztę. To daje \(3\) liczby: \(11100\), \(11010\), \(10110\).
**Krok \(7\).** Zestaw \(\{2,1,0,0\}\): wszystkich ustawień czterech cyfr, wśród których dwie są jednakowe, jest \(\dfrac{4!}{2!}=12\). Odrzucamy te z zerem na pierwszym miejscu: wtedy na trzech dalszych miejscach ustawiamy \(2\), \(1\), \(0\), co daje \(3!=6\) ustawień. Zostaje \(12-6=6\) liczb.
**Krok \(8\).** Suma \(6\) daje zestawy \(\{2,2,2,0\}\) oraz \(\{2,2,1,1\}\). W pierwszym, tak jak w kroku \(6\), zero ma trzy dopuszczalne miejsca, czyli \(3\) liczby (\(22200\), \(22020\), \(20220\)). W drugim nie ma zera, więc wszystkie ustawienia są dobre, a jest ich \(\dfrac{4!}{2!\cdot2!}=6\).
**Krok \(9\).** Sumujemy wszystkie przypadki:
\[3+6+3+6=18.\]
**Uwaga.** Dwie pułapki: ostatnią cyfrą nie może być \(5\), bo takiej cyfry nie mamy do dyspozycji, a pierwszą cyfrą nie może być \(0\) — to właśnie ten drugi warunek zmniejsza liczbę ustawień w zestawach zawierających zero.
**Odpowiedź.** Można utworzyć \(18\) takich liczb.
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania: zdający zapisze, że ostatnią cyfrą utworzonej liczby jest \(0\).
**2 pkt** – rozwiązanie, w którym jest istotny postęp: zdający zapisze, że są cztery możliwości uzyskania sumy cyfr podzielnej przez \(3\).
**3 pkt** – pokonanie zasadniczych trudności zadania: zdający poprawnie obliczy liczby liczb w co najmniej trzech z czterech wymienionych przypadków.
**4 pkt** – rozwiązanie pełne: zdający obliczy, że jest \(18\) liczb pięciocyfrowych, podzielnych przez \(15\), które można utworzyć, dysponując jedynie cyframi \(0\), \(1\), \(2\).
Wymagania podstawy programowej
Klasyfikacja rzeczowa: stosowanie cech podzielności przez 3, 5 i 15 oraz zliczanie liczb spełniających zadane warunki.
