Równania i nierówności z parametrem
Zadanie 13, czerwiec 2017, poziom rozszerzony
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie
\[x^2-3mx+2m^2+1=0\]
ma dwa różne rozwiązania takie, że każde należy do przedziału \(( -\infty,3)\).
Odpowiedź
\[m\in(-\infty,-2).\]
Rozwiązanie krok po kroku
Równanie ma dwa różne pierwiastki wtedy i tylko wtedy, gdy
\[\Delta=9m^2-4(2m^2+1)=m^2-4>0,\]
czyli \(m\in(-\infty,-2)\cup(2,\infty)\). Niech \(x_1,x_2\) będą pierwiastkami. Warunki \(x_1<3\) i \(x_2<3\) są równoważne układowi
\[x_1+x_2-6<0,\qquad (x_1-3)(x_2-3)>0.\]
Ze wzorów Viète'a otrzymujemy
\[3m<6,\qquad 2m^2-9m+10>0.\]
Pierwsza nierówność daje \(m<2\), a wtedy druga również jest spełniona. Przecięcie z warunkiem \(\Delta>0\) daje \(m\in(-\infty,-2)\).
Klucz i zasady oceniania
Rozwiązanie składa się z trzech etapów.
**Etap I: 1 pkt** – rozwiązanie warunku \(\Delta>0\), czyli \(m\in(-\infty,-2)\cup(2,\infty)\). Zapisanie \(\Delta\geq0\) nie daje punktu za ten etap
**Etap II: 4 pkt** – 1 pkt za zapisanie warunków \(x_1-3<0\), \(x_2-3<0\); 2 pkt za te warunki i jedną poprawnie przekształconą nierówność; 3 pkt za układ \(3m<6\), \(2m^2-9m+10>0\); 4 pkt za jego rozwiązanie \(m<2\)
**Etap III: 1 pkt** – wyznaczenie części wspólnej warunków i podanie \(m\in(-\infty,-2)\)
**6 pkt** – rozwiązanie pełne obejmujące wszystkie trzy etapy
**0 pkt** – brak realizacji któregokolwiek etapu
Wymagania podstawy programowej
**Klasyfikacja CKE:** funkcja kwadratowa z parametrem - wyróżnik, położenie pierwiastków względem liczby oraz wzory Viète'a.
