Wartości funkcji trygonometrycznych
Zadanie 13, czerwiec 2016, poziom rozszerzony
Rozwiąż nierówność
\[(2\sin x-3)(2\sin x+1)>0\]
w przedziale \(x\in(0,2\pi)\).
Odpowiedź
\[x\in\left(\frac{7\pi}{6},\frac{11\pi}{6}\right).\]
Rozwiązanie krok po kroku
Dla każdego \(x\in\mathbb R\) mamy \(2\sin x-3<0\), ponieważ \(\sin x\leq1\). Iloczyn jest dodatni wtedy i tylko wtedy, gdy również drugi czynnik jest ujemny:
\[2\sin x+1<0,\qquad \sin x<-\frac12.\]
W przedziale \((0,2\pi)\) nierówność ta jest spełniona dla
\[x\in\left(\frac{7\pi}{6},\frac{11\pi}{6}\right).\]
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – zauważenie, że \(2\sin x-3<0\) dla każdego \(x\in\mathbb R\), i poprawne rozwiązanie \(\sin x<-\frac12\): \(x\in(\frac{7\pi}{6},\frac{11\pi}{6})\)
**2 pkt** – zauważenie sprzeczności warunku \(\sin x>\frac32\) albo poprawne rozwiązanie nierówności \(\sin x<-\frac12\), a następnie zakończenie lub dalszy błąd
**1 pkt** – sprowadzenie iloczynu do alternatywy \(\sin x<-\frac12\) lub \(\sin x>\frac32\)
**0 pkt** – brak koniecznego postępu
Wymagania podstawy programowej
**Klasyfikacja CKE:** trygonometria - nierówności trygonometryczne i zbiór wartości funkcji sinus.
