Kombinatoryka
Zadanie 15, czerwiec 2016, poziom rozszerzony
Oblicz, ile jest wszystkich pięciocyfrowych liczb naturalnych, w których zapisie występują dokładnie trzy cyfry nieparzyste.
Odpowiedź
Takich liczb jest \(28\) \(750\). Gdy pierwsza cyfra jest nieparzysta, otrzymujemy \(5\)·C(\(4\),\(2\))·\(5^{2}\cdot 5^{2}\)=\(18\) \(750\) liczb. Gdy jest parzysta i niezerowa, otrzymujemy \(4\)·C(\(4\),\(3\))·\(5^{3}\cdot 5=10\) \(000\) liczb. Suma daje wynik.
Rozwiązanie krok po kroku
Liczba pięciocyfrowa ma zawierać dokładnie trzy cyfry nieparzyste, a więc dokładnie dwie parzyste. Cyfr nieparzystych jest \(5\), parzystych też \(5\), ale cyfra dziesiątek tysięcy nie może być zerem — dlatego rozbijamy zliczanie według jej parzystości.
**Przypadek 1: pierwsza cyfra nieparzysta.** Wybieramy ją na \(5\) sposobów. Spośród czterech pozostałych pozycji dwie przeznaczamy na pozostałe cyfry nieparzyste — na \(\binom42=6\) sposobów; wpisujemy je na \(5^2\) sposobów. Na dwóch pozostałych pozycjach stoją cyfry parzyste, co daje \(5^2\) możliwości. Razem
\[5\cdot\binom42\cdot5^2\cdot5^2=5\cdot6\cdot25\cdot25=18\,750.\]
**Przypadek 2: pierwsza cyfra parzysta i niezerowa.** Wybieramy ją na \(4\) sposoby. Spośród czterech pozostałych pozycji trzy przeznaczamy na cyfry nieparzyste — na \(\binom43=4\) sposoby; wpisujemy je na \(5^3\) sposobów. Na ostatniej pozycji stoi druga cyfra parzysta, co daje \(5\) możliwości. Razem
\[4\cdot\binom43\cdot5^3\cdot5=4\cdot4\cdot125\cdot5=10\,000.\]
Przypadki są rozłączne, zatem
\[18\,750+10\,000=28\,750.\]
**Odpowiedź.** \(28\,750\)
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
Rozpatrujemy dwa rozłączne przypadki.
**a)** Jeśli pierwszą cyfrą jest cyfra nieparzysta, którą można wybrać na \(5\) sposobów, to spośród czterech pozostałych miejsc wybieramy dwa na cyfry nieparzyste i wstawiamy je na \(5^2\) sposobów; na pozostałych dwóch miejscach umieszczamy cyfry parzyste na \(5^2\) sposobów. Daje to \(5\cdot\binom{4}{2}\cdot5^2\cdot5^2=18\,750\) liczb.
**b)** Jeśli pierwszą cyfrą jest cyfra parzysta (i niezerowa), którą można wybrać na \(4\) sposoby, to spośród czterech pozostałych miejsc wybieramy trzy na cyfry nieparzyste i wstawiamy je na \(5^3\) sposobów; na ostatnim miejscu umieszczamy cyfrę parzystą na \(5\) sposobów. Daje to \(4\cdot\binom{4}{3}\cdot5^3\cdot5=10\,000\) liczb.
Łącznie \(18\,750+10\,000=28\,750\).
Wymagania podstawy programowej
Klasyfikacja rzeczowa: zliczanie liczb o zadanej liczbie cyfr nieparzystych z rozróżnieniem ograniczenia na pierwszą cyfrę.
