Równania i nierówności
Zadanie 10, czerwiec 2015, poziom rozszerzony
Rozwiąż równanie
\[(4\sin^2x-1)\sin x=\cos^2x-3\sin^2x\]
dla \(x\in(-\pi,0)\).
Odpowiedź
\[x\in\left\{-\frac{5\pi}{6},-\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{6}\right\}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Korzystamy z \(\cos^2x=1-\sin^2x\) i przekształcamy równanie:
\[(4\sin^2x-1)(\sin x+1)=0,\]
\[(2\sin x-1)(2\sin x+1)(\sin x+1)=0.\]
W przedziale \((-\pi,0)\) sinus jest ujemny, więc warunek \(\sin x=\frac12\) odrzucamy. Z \(\sin x=-\frac12\) otrzymujemy \(x=-\frac{5\pi}{6}\) lub \(x=-\frac{\pi}{6}\), a z \(\sin x=-1\) otrzymujemy \(x=-\frac{\pi}{2}\).
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – podanie wszystkich trzech rozwiązań w wymaganym przedziale
**3 pkt** – poprawne rozwiązanie co najmniej jednego z trzech równań składowych w przedziale
**2 pkt** – zapisanie alternatywy \(\sin x=\frac12\), \(\sin x=-\frac12\) lub \(\sin x=-1\)
**1 pkt** – sprowadzenie prawej strony do \(1-4\sin^2x\)
**0 pkt** – brak koniecznego postępu
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
CKE IV. Użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
równania trygonometryczne i tożsamość \(\sin^2x+\cos^2x=1\).
