Wartości funkcji trygonometrycznych
Zadanie 11, czerwiec 2015, poziom rozszerzony
W trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości \(15\) i \(20\) wpisano okrąg. Oblicz długość odcinka łączącego wierzchołek kąta prostego tego trójkąta z punktem wspólnym okręgu i przeciwprostokątnej.
Odpowiedź
\[\sqrt{145}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Przeciwprostokątna ma długość \(25\), a promień okręgu wpisanego
\[r=\frac{15+20-25}{2}=5.\]
Z twierdzenia o odcinkach stycznych odcinek na przeciwprostokątnej ma długość \(10\). Dla odpowiedniego kąta ostrego \(\cos\alpha=\frac35\). Z twierdzenia cosinusów szukana długość \(d\) spełnia
\[d^2=15^2+10^2-2\cdot15\cdot10\cdot\frac35=145,\]
czyli \(d=\sqrt{145}\).
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – wyznaczenie długości \(\sqrt{145}\)
**3 pkt** – wyznaczenie odcinka stycznego długości \(10\)
**2 pkt** – obliczenie promienia \(r=5\)
**1 pkt** – obliczenie przeciwprostokątnej \(25\) i właściwego cosinusa \(\frac35\)
**0 pkt** – brak koniecznego postępu
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
CKE IV. Użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
planimetria - okrąg wpisany, odcinki styczne i twierdzenie cosinusów.
