Trójkąty
Zadanie 9, czerwiec 2015, poziom rozszerzony
W trójkącie \(ABC\) kąt wewnętrzny przy wierzchołku \(A\) ma miarę \(50^\circ\), a kąt wewnętrzny przy wierzchołku \(C\) ma miarę \(60^\circ\). Okrąg \(o_1\) przechodzi przez punkt \(A\) i przecina boki \(AB\) i \(AC\) trójkąta odpowiednio w punktach \(D\) i \(E\). Okrąg \(o_2\) przechodzi przez punkt \(B\), przecina okrąg \(o_1\) w punkcie \(D\) oraz w punkcie \(F\) leżącym wewnątrz trójkąta \(ABC\). Ponadto okrąg \(o_2\) przecina bok \(BC\) trójkąta w punkcie \(G\).
Udowodnij, że na czworokącie \(CEFG\) można opisać okrąg.
Odpowiedź
Na czworokącie \(CEFG\) można opisać okrąg, ponieważ suma jego przeciwległych kątów jest równa \(180^\circ\).
Rozwiązanie krok po kroku
W trójkącie \(ABC\) mamy \(|\angle ABC|=70^\circ\). Czworokąty \(ADFE\) i \(BDFG\) są wpisane odpowiednio w okręgi \(o_1\) i \(o_2\), więc
\[|\angle DFE|=180^\circ-50^\circ=130^\circ,\]
\[|\angle DFG|=180^\circ-70^\circ=110^\circ.\]
Zatem \(|\angle EFG|=360^\circ-130^\circ-110^\circ=120^\circ\). Ponieważ \(|\angle ECG|=60^\circ\), suma przeciwległych kątów czworokąta \(CEFG\) wynosi \(180^\circ\), co kończy dowód.
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – pełne uzasadnienie współokręgowości punktów \(C,E,F,G\)
**2 pkt** – obliczenie \(|\angle EFG|=120^\circ\)
**1 pkt** – obliczenie \(|\angle DFE|=130^\circ\) albo \(|\angle DFG|=110^\circ\)
**0 pkt** – brak koniecznego postępu
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
CKE V. Rozumowanie i argumentacja.
**Wymagania szczegółowe:**
planimetria - kąty wpisane i warunek opisania okręgu na czworokącie.
