Nierówności
Zadanie 4, czerwiec 2014, poziom rozszerzony
Rozwiąż nierówność
\[-2\sin(3x)\geq1\]
w przedziale \(\langle0,2\pi\rangle\).
Odpowiedź
\[x\in\left\langle\frac{7\pi}{18},\frac{11\pi}{18}\right\rangle\cup\left\langle\frac{19\pi}{18},\frac{23\pi}{18}\right\rangle\cup\left\langle\frac{31\pi}{18},\frac{35\pi}{18}\right\rangle.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Dzieląc nierówność przez \(-2\), zmieniamy zwrot znaku:
\[\sin(3x)\leq-\frac12.\]
Dla liczby całkowitej \(k\) mamy
\[3x\in\left\langle\frac{7\pi}{6}+2k\pi,\frac{11\pi}{6}+2k\pi\right\rangle.\]
Po podzieleniu przez \(3\):
\[x\in\left\langle\frac{7\pi}{18}+\frac{2k\pi}{3},\frac{11\pi}{18}+\frac{2k\pi}{3}\right\rangle.\]
W przedziale \(\langle0,2\pi\rangle\) odpowiada to wartościom \(k=0,1,2\), stąd
\[x\in\left\langle\frac{7\pi}{18},\frac{11\pi}{18}\right\rangle\cup\left\langle\frac{19\pi}{18},\frac{23\pi}{18}\right\rangle\cup\left\langle\frac{31\pi}{18},\frac{35\pi}{18}\right\rangle.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawny zbiór rozwiązań w przedziale \(\langle0,2\pi\rangle\)
**3 pkt** – poprawne ogólne rozwiązanie dla \(x\), lecz niepełne lub częściowo błędne ograniczenie do zadanego przedziału
**2 pkt** – poprawne ogólne rozwiązanie nierówności dla argumentu \(3x\)
**1 pkt** – poprawne sprowadzenie do nierówności \(\sin(3x)\leq-\frac12\)
**0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający interpretuje pojęcia matematyczne i operuje obiektami matematycznymi.
**Wymagania szczegółowe:**
Zdający rozwiązuje nierówności trygonometryczne i ogranicza ich rozwiązania do zadanego przedziału.
