Trójkąty
Zadanie 5, czerwiec 2014, poziom rozszerzony
Na przyprostokątnych \(AC\) i \(BC\) trójkąta prostokątnego \(ABC\) zbudowano, na zewnątrz trójkąta, kwadraty \(ACDE\) i \(BFGC\). Odcinek \(AF\) przecina przyprostokątną \(BC\) w punkcie \(L\), a odcinek \(BE\) przecina przyprostokątną \(AC\) w punkcie \(K\) (zobacz rysunek). Udowodnij, że \(|KC|=|LC|\).
Odpowiedź
Wykazano, że \(|KC|=|LC|\).
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy \(|BC|=a\) oraz \(|AC|=b\). Trójkąty \(BCK\) i \(BDE\) są prostokątne i mają wspólny kąt ostry przy wierzchołku \(B\), więc są podobne. Analogicznie trójkąty \(ACL\) i \(AGF\) są podobne. Zatem
\[\frac{|KC|}{|CB|}=\frac{|ED|}{|BD|},\qquad \frac{|LC|}{|AC|}=\frac{|FG|}{|AG|}.\]
Ponieważ boki zbudowanych kwadratów mają długości \(|ED|=|AC|=b\) oraz \(|FG|=|BC|=a\), a odpowiednie odcinki mają długość \(a+b\), otrzymujemy
\[|KC|=a\cdot\frac{b}{a+b}=\frac{ab}{a+b}\]
oraz
\[|LC|=b\cdot\frac{a}{a+b}=\frac{ab}{a+b}.\]
Stąd \(|KC|=|LC|\), co kończy dowód.
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – pełny dowód prowadzący do \(|KC|=|LC|=\frac{ab}{a+b}\)
**2 pkt** – poprawne proporcje pozwalające wyznaczyć długości \(|KC|\) i \(|LC|\)
**1 pkt** – poprawne wskazanie obu par trójkątów podobnych
**0 pkt** – brak istotnego postępu albo rozumowanie błędne
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
V. Rozumowanie i argumentacja. Zdający tworzy łańcuch argumentów i uzasadnia jego poprawność.
**Wymagania szczegółowe:**
Zdający rozpoznaje trójkąty podobne i wykorzystuje proporcje długości odpowiednich boków.
