Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 3, czerwiec 2014, poziom rozszerzony
Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) prawdziwa jest nierówność
\[x(x-1)+y(y-1)\geq xy-1.\]
Odpowiedź
Nierówność jest prawdziwa dla wszystkich \(x,y\in\mathbb R\).
Rozwiązanie krok po kroku
Po przeniesieniu prawej strony na lewą otrzymujemy
\[x^2+y^2-xy-x-y+1\geq0.\]
Mnożymy lewą stronę przez \(2\) i grupujemy składniki:
\[2(x^2+y^2-xy-x-y+1)=(x-y)^2+(x-1)^2+(y-1)^2.\]
Każdy składnik po prawej stronie jest kwadratem liczby rzeczywistej, więc jest nieujemny. Zatem ich suma jest nieujemna, co dowodzi tezy.
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – pełny dowód wraz z uzasadnieniem nieujemności sumy kwadratów
**2 pkt** – zapisanie nierówności w równoważnej postaci będącej sumą składników nieujemnych
**1 pkt** – poprawne przeniesienie wszystkich składników na jedną stronę i rozpoczęcie przekształceń prowadzących do sumy kwadratów
**0 pkt** – rozumowanie błędne albo brak dowodu
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
V. Rozumowanie i argumentacja. Zdający tworzy łańcuch argumentów i uzasadnia jego poprawność.
**Wymagania szczegółowe:**
Zdający wykorzystuje wzory skróconego mnożenia i nieujemność kwadratu liczby rzeczywistej do dowodzenia nierówności.
