Równania i nierówności
Zadanie 3, czerwiec 2013, poziom rozszerzony
Rozwiąż równanie
\[2\operatorname{tg}x\cdot\cos x+1=2\cos x+\operatorname{tg}x\]
w przedziale \(\langle0,2\pi\rangle\).
Odpowiedź
\(x\in\left\{\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3},\frac{5\pi}{4},\frac{5\pi}{3}\right\}\). Dziedzinę ogranicza warunek \(\cos x\neq 0\). Równanie zapisujemy w postaci iloczynowej \(\left(2\cos x-1\right)\left(\operatorname{tg}x-1\right)=0\), więc rozwiązujemy \(\cos x=\frac{1}{2}\) lub \(\operatorname{tg}x=1\) w przedziale \(\langle 0,2\pi\rangle\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Metoda: przenosimy wszystko na jedną stronę i grupujemy wyrazy tak, by otrzymać postać iloczynową. Wtedy iloczyn jest zerem dokładnie wtedy, gdy zeruje się jeden z czynników.
**Krok \(2\).** Ustalamy dziedzinę. Funkcja \(\operatorname{tg}x\) jest określona dla \(\cos x\neq 0\), więc w przedziale \(\langle 0,2\pi\rangle\) musimy wykluczyć
\[x=\frac{\pi}{2}\qquad\text{oraz}\qquad x=\frac{3\pi}{2}.\]
**Krok \(3\).** Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę:
\[2\operatorname{tg}x\cdot\cos x+1-2\cos x-\operatorname{tg}x=0.\]
**Krok \(4\).** Grupujemy: pierwszy wyraz z trzecim, a czwarty z drugim:
\[\operatorname{tg}x\left(2\cos x-1\right)-\left(2\cos x-1\right)=0,\]
\[\left(2\cos x-1\right)\left(\operatorname{tg}x-1\right)=0.\]
**Krok \(5\).** Iloczyn jest równy zeru, gdy zeruje się któryś z czynników:
\[\cos x=\frac{1}{2}\qquad\text{lub}\qquad \operatorname{tg}x=1.\]
**Krok \(6\).** Rozwiązujemy pierwsze równanie w przedziale \(\langle 0,2\pi\rangle\). Wartość \(\frac{1}{2}\) cosinus przyjmuje dla
\[x=\frac{\pi}{3}\qquad\text{oraz}\qquad x=2\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{3}.\]
**Krok \(7\).** Rozwiązujemy drugie równanie. Rozwiązaniami \(\operatorname{tg}x=1\) są liczby \(x=\frac{\pi}{4}+k\pi\), \(k\in\mathbb{Z}\); w przedziale \(\langle 0,2\pi\rangle\) są to
\[x=\frac{\pi}{4}\qquad\text{oraz}\qquad x=\frac{5\pi}{4}.\]
**Krok \(8\).** Wszystkie cztery liczby należą do dziedziny (żadna nie jest równa \(\frac{\pi}{2}\) ani \(\frac{3\pi}{2}\)), więc wszystkie są rozwiązaniami.
**Uwaga.** Nie wolno skracać obu stron przez \(2\cos x-1\), bo dla \(\cos x=\frac{1}{2}\) dzielilibyśmy przez zero i stracilibyśmy połowę rozwiązań. Dlatego zamiast dzielić, wyłączamy wspólny czynnik przed nawias.
**Odpowiedź.** \(x\in\left\{\frac{\pi}{4},\ \frac{\pi}{3},\ \frac{5\pi}{4},\ \frac{5\pi}{3}\right\}\).
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – zdający zapisze równanie w postaci iloczynowej: \((2\cos x-1)(\operatorname{tg}x-1)=0\).
**2 pkt** – zdający zapisze alternatywę dwóch równań, np.: \(\cos x=\tfrac{1}{2}\) lub \(\operatorname{tg}x=1\).
**3 pkt** – zdający rozwiąże jedno z równań w przedziale \((0,2\pi)\): \(\cos x=\tfrac{1}{2}\) dla \(x=\tfrac{\pi}{3}\) lub \(x=\tfrac{5\pi}{3}\) (\(x=60^\circ\), \(x=300^\circ\)), albo \(\operatorname{tg}x=1\) dla \(x=\tfrac{\pi}{4}\) lub \(x=\tfrac{5\pi}{4}\) (\(x=45^\circ\), \(x=225^\circ\)).
**4 pkt** – zdający wyznaczy wszystkie rozwiązania danego równania w przedziale \((0,2\pi)\): \(x=\tfrac{\pi}{3}\) lub \(x=\tfrac{\pi}{4}\) lub \(x=\tfrac{5\pi}{4}\) lub \(x=\tfrac{5\pi}{3}\); albo \(x=60^\circ\) lub \(x=45^\circ\) lub \(x=225^\circ\) lub \(x=300^\circ\).
Wymagania podstawy programowej
Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa: rozwiązanie równania trygonometrycznego w zadanym przedziale.
