Zadanie 1 – matura z matematyki czerwiec 2013, poziom rozszerzony

x≤−\(5\) lub x≥\(6\). Wyrażenia pod pierwiastkami są kwadratami, więc nierówność ma postać |x+\(2\)|+|x−\(3\)|≥\(11\). Punkty −\(2\) i \(3\) dzielą oś na przedziały; rozwiązanie przypadków daje (−∞,−\(5\)]∪[\(6\),∞).

**Krok \(1\).** Zanim zaczniemy cokolwiek przekształcać, przyglądamy się wyrażeniom pod pierwiastkami. \(x^2+4x+4\) oraz \(x^2-6x+9\) to kwadraty zupełne. To znaczy, że pierwiastki znikną — ale trzeba pamiętać, że \(\sqrt{t^2}=|t|\), a nie \(t\). Zadanie sprowadzi się więc do nierówności z wartościami bezwzględnymi. **Krok \(2\).** Ze wzorów skróconego mnożenia: \(x^2+4x+4=(x+2)^2\) oraz \(x^2-6x+9=(x-3)^2\). Zatem \[\sqrt{(x+2)^2}\geqslant11-\sqrt{(x-3)^2},\qquad |x+2|\geqslant11-|x-3|.\] **Krok \(3\).** Przenosimy moduł na lewą stronę: \[|x+2|+|x-3|\geqslant11.\] Zauważmy, że dziedziną jest cały zbiór \(\mathbb{R}\) — wyrażenia pod pierwiastkami są kwadratami, więc nigdy nie są ujemne. **Krok \(4\).** Dzielimy oś liczbową punktami zerowania wyrażeń pod modułami: \(x=-2\) i \(x=3\). Rozpatrujemy trzy przedziały. **Krok \(5\).** Przypadek \(x\lt-2\). Oba wyrażenia są ujemne: \[(-x-2)+(3-x)\geqslant11,\qquad 1-2x\geqslant11,\qquad -2x\geqslant10,\qquad x\leqslant-5.\] Część wspólna z przedziałem \((-\infty,-2)\) to \((-\infty,-5\rangle\). **Krok \(6\).** Przypadek \(-2\leqslant x\lt3\). Wtedy \(|x+2|=x+2\), \(|x-3|=3-x\): \[(x+2)+(3-x)=5\geqslant11,\] co jest fałszem niezależnie od \(x\). W tym przedziale nie ma rozwiązań. **Krok \(7\).** Przypadek \(x\geqslant3\). Oba wyrażenia są nieujemne: \[(x+2)+(x-3)\geqslant11,\qquad 2x-1\geqslant11,\qquad x\geqslant6.\] Część wspólna z przedziałem \(\langle3,+\infty)\) to \(\langle6,+\infty)\). **Krok \(8\).** Łączymy wyniki: \(x\in(-\infty,-5\rangle\cup\langle6,+\infty)\). **Krok \(9\).** Sprawdzenie krańców: dla \(x=-5\) mamy \(|-3|+|-8|=3+8=11\), a dla \(x=6\) mamy \(|8|+|3|=11\) — oba spełniają nierówność nieostrą, więc końce są domknięte. **Uwaga.** Najgroźniejsza pułapka to zapis \(\sqrt{(x+2)^2}=x+2\). Pierwiastek arytmetyczny jest zawsze nieujemny, więc poprawnie \(\sqrt{(x+2)^2}=|x+2|\); pominięcie modułu zmienia całe zadanie i prowadzi do złej odpowiedzi. **Odpowiedź.** \(x\in(-\infty,-5\rangle\cup\langle6,+\infty)\).

**1 pkt** – zapisanie nierówności w postaci \(\lvert x+2\rvert+\lvert x-3\rvert\ge 11\). **2 pkt** – zapisanie odpowiednich nierówności w danych przedziałach albo zapisanie czterech przypadków. **3 pkt** – rozwiązanie wszystkich nierówności z uwzględnieniem danych przedziałów albo rozpatrzenie wszystkich czterech przypadków. **4 pkt** – poprawne rozwiązanie wszystkich trzech nierówności i wyznaczenie części wspólnych otrzymanych wyników z poszczególnymi przedziałami tylko w dwóch przypadkach, popełnienie błędu w trzecim przypadku i konsekwentne doprowadzenie rozwiązania do końca; albo poprawne rozwiązanie nierówności tylko w dwóch przedziałach i wyznaczenie części wspólnych otrzymanych wyników z poszczególnymi przedziałami i konsekwentne doprowadzenie rozwiązania do końca; albo rozpatrzenie czterech przypadków, poprawne rozwiązanie nierówności i wyznaczenie części wspólnych otrzymanych wyników z poszczególnymi przedziałami tylko w dwóch przypadkach, stwierdzenie, że czwarty jest niemożliwy, popełnienie błędu w trzecim przypadku i konsekwentne doprowadzenie rozwiązania do końca. **5 pkt** – zapisanie rozwiązania nierówności: \(x\in\left(-\infty,-5\right\rangle\cup\left\langle 6,+\infty\right)\). Jeżeli zdający zapisze nierówność w postaci \(x+2+x-3\ge 11\) i ją rozwiąże, to za rozwiązanie całego zadania otrzymuje \(1\) punkt. Jeżeli zdający rozwiąże nierówności w poszczególnych przedziałach i na tym zakończy lub nie wyznaczy części wspólnej otrzymanych wyników z poszczególnymi przedziałami, to otrzymuje \(2\) punkty. Jeżeli zdający rozpatrzy cztery przypadki, rozwiąże nierówności w poszczególnych przedziałach, stwierdzi, że czwarty przypadek jest niemożliwy, i na tym zakończy lub nie wyznaczy części wspólnej otrzymanych wyników z poszczególnymi przedziałami, to otrzymuje \(2\) punkty. Jeżeli zdający błędnie podzieli zbiór liczb rzeczywistych na przedziały i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje maksymalnie \(3\) punkty. Jeżeli zdający wykorzysta interpretację geometryczną wartości bezwzględnej i graficznie wyznaczy zbiór rozwiązań nierówności, to za rozwiązanie całego zadania otrzymuje \(5\) punktów.

Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa: nierówność pierwiastkowa sprowadzana do nierówności z wartościami bezwzględnymi.