Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 5, czerwiec 2013, poziom rozszerzony
Uzasadnij, że jeżeli
\[2a+b\geq0,\]
to
\[2a^3+b^3\geq3a^2b.\]
Odpowiedź
Nierówność została uzasadniona przy założeniu \(2a+b\ge0\).
Rozwiązanie krok po kroku
Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę:
\[2a^{3}-3a^{2}b+b^{3}\ge0.\]
Rozkładamy lewą stronę na czynniki. Zauważamy, że dla \(a=b\) wyrażenie się zeruje, więc \(a-b\) jest jego dzielnikiem:
\[2a^{3}-3a^{2}b+b^{3}=2a^{2}(a-b)-a^{2}b+b^{3}=2a^{2}(a-b)-b\left(a^{2}-b^{2}\right),\]
\[=2a^{2}(a-b)-b(a-b)(a+b)=(a-b)\left(2a^{2}-ab-b^{2}\right).\]
Drugi czynnik rozkładamy dalej:
\[2a^{2}-ab-b^{2}=2a^{2}-2ab+ab-b^{2}=2a(a-b)+b(a-b)=(a-b)(2a+b).\]
Zatem
\[2a^{3}-3a^{2}b+b^{3}=(a-b)^{2}(2a+b).\]
Pierwszy czynnik jest nieujemny jako kwadrat liczby rzeczywistej, a drugi jest nieujemny z założenia. Iloczyn liczb nieujemnych jest nieujemny, co kończy dowód.
**Odpowiedź.** Jeżeli \(2a+b\ge0\), to \(2a^{3}+b^{3}\ge3a^{2}b\), co należało uzasadnić.
Klucz i zasady oceniania
Zadanie 5. (3 pkt)
Uzasadnij, że jeżeli 2a+bžO, to 2a3 +113 3a2b .
Rozwiązanie
Przekształcamy nierówność w sposób równoważny:
2a3 -3a2b+b3 žo,
2a3 —2a2b—a2b+b3 O,
2a2 —122) O,
2a2 (a —b) O ,
(a —b) (2a2 — ab—b2) ,
(a — b) (2a2 —2ab + ab —b2) O ,
(2a+b) O .
Ostatnia nierówność jest prawdziwa, gdyż jej lewa strona jest iloczynem dwóch liczb
nieujemnych: nierówność 0 jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej a i dla
każdej liczby rzeczywistej b, a z założenia 2a+b O.
Schemat oceniania
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp .
1 pkt
Zapisanie lewej strony nierówności 2a3 —3a2b+b3 > O w postaci iloczynu,
np.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 2 pkt
Zapisanie lewej strony nierówności w postaci iloczynowej,
Rozwiązanie pełne
Przeprowadzenie pełnego dowodu.
3pkt
Wymagania podstawy programowej
Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa: dowód nierówności algebraicznej przez rozkład na czynniki.
