Wartości funkcji trygonometrycznych
Zadanie 5, czerwiec 2011, poziom rozszerzony
Dany jest trójkąt ostrokątny \(ABC\) o bokach długości \(a\), \(b\), \(c\) i kątach \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) (zobacz rysunek). Wykaż, że
\[\frac{b^2+c^2-a^2}{a^2+c^2-b^2}=\frac{\operatorname{tg}\beta}{\operatorname{tg}\alpha}.\]
Odpowiedź
Teza została wykazana: \(\dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{a^{2}+c^{2}-b^{2}}=\dfrac{\operatorname{tg}\beta}{\operatorname{tg}\alpha}\).
Rozwiązanie krok po kroku
Z rysunku odczytujemy, że bok \(a\) leży naprzeciw kąta \(\alpha\), a bok \(b\) naprzeciw kąta \(\beta\).
Twierdzenie cosinusów zastosowane kolejno do kątów \(\alpha\) i \(\beta\) daje
\[a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos\alpha,\qquad b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos\beta,\]
czyli
\[b^{2}+c^{2}-a^{2}=2bc\cos\alpha,\qquad a^{2}+c^{2}-b^{2}=2ac\cos\beta.\]
Trójkąt jest ostrokątny, więc \(\cos\alpha>0\) i \(\cos\beta>0\); mianownik jest zatem różny od zera i można podzielić stronami:
\[\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{a^{2}+c^{2}-b^{2}}=\frac{2bc\cos\alpha}{2ac\cos\beta}=\frac{b\cos\alpha}{a\cos\beta}.\]
Z twierdzenia sinusów \(\dfrac ba=\dfrac{\sin\beta}{\sin\alpha}\), więc
\[\frac{b\cos\alpha}{a\cos\beta}=\frac{\sin\beta\cos\alpha}{\sin\alpha\cos\beta}=\frac{\sin\beta}{\cos\beta}\cdot\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\operatorname{tg}\beta}{\operatorname{tg}\alpha}.\]
**Odpowiedź.** \(\dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{a^{2}+c^{2}-b^{2}}=\dfrac{\operatorname{tg}\beta}{\operatorname{tg}\alpha}\), co należało wykazać.
Klucz i zasady oceniania
*Schemat punktowania CKE zachował się przy tym zadaniu bez liczb: cyfry stały w wąskiej kolumnie tabeli i nie przetrwały odczytu arkusza. Poziomy oceniania zostają, punktów nie dopisujemy — zgadnięty próg to źle policzona praca.*
*Schemat oceniania I sposobu rozwiązania*
**Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania** – zapisanie zależności: \(a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos\alpha\) i \(b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos\beta\).
**Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp** – przekształcenie zależności do postaci: \(2bc\cos\alpha=b^{2}+c^{2}-a^{2}\) i \(2ac\cos\beta=a^{2}+c^{2}-b^{2}\).
**Pokonanie zasadniczych trudności zadania** – wykorzystanie twierdzenia cosinusów i zapisanie, że \(\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{a^{2}+c^{2}-b^{2}}=\frac{b\cos\alpha}{a\cos\beta}\).
**Rozwiązanie pełne** – wykorzystanie twierdzenia sinusów i wykazanie tezy.
*Schemat oceniania II sposobu rozwiązania*
**Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania** – zapisanie, że \(\frac{\operatorname{tg}\beta}{\operatorname{tg}\alpha}=\frac{\sin\beta\cos\alpha}{\sin\alpha\cos\beta}\) i wykorzystanie twierdzenia sinusów: \(\frac{\sin\beta}{\sin\alpha}=\frac{b}{a}\).
**Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp** – wykorzystanie twierdzenia cosinusów i zapisanie zależności: \(a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos\alpha\) i \(b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos\beta\).
**Pokonanie zasadniczych trudności zadania** – przekształcenie zależności do postaci: \(\cos\alpha=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}\) i \(\cos\beta=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}\).
**Rozwiązanie pełne** – \([\ldots]\)
Wymagania podstawy programowej
Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa: dowód tożsamości z zastosowaniem twierdzenia sinusów i cosinusów.
