Nierówności
Zadanie 4, wrzesień 2020, poziom podstawowy
Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność \(5\frac{(4-x)}{2}<x\) jest
A. \(1\)
B. \(2\)
C. \(3\)
D. \(4\)
Odpowiedź
C. \(3\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** To nierówność liniowa z ułamkiem. Plan jest taki: najpierw pozbywamy się mianownika, mnożąc obie strony przez \(2\) (liczba dodatnia, więc znak nierówności zostaje bez zmian), potem zbieramy \(x\)-y po jednej stronie, a na końcu wybieramy z otrzymanego przedziału odpowiednią liczbę całkowitą.
**Krok \(2\).** Nierówność \(\frac{5(4-x)}{2} \lt x\) mnożymy stronami przez \(2\):
\[5(4-x) \lt 2x.\]
**Krok \(3\).** Wymnażamy nawias:
\[20-5x \lt 2x.\]
**Krok \(4\).** Przenosimy \(-5x\) na prawą stronę (dodajemy \(5x\) do obu stron):
\[20 \lt 7x.\]
**Krok \(5\).** Dzielimy obie strony przez \(7\) — liczba dodatnia, więc znak się nie odwraca:
\[x \gt \frac{20}{7}.\]
**Krok \(6\).** Zamieniamy \(\frac{20}{7}\) na postać dziesiętną, żeby zobaczyć, gdzie ta liczba leży:
\[\frac{20}{7}=2\frac{6}{7}\approx2{,}86.\]
Szukamy najmniejszej liczby całkowitej **większej** od \(2{,}86\) — to \(3\).
**Krok \(7\).** Kontrola: dla \(x=3\) lewa strona to \(\frac{5(4-3)}{2}=2{,}5\) i istotnie \(2{,}5 \lt 3\). Dla \(x=2\) lewa strona to \(\frac{5\cdot2}{2}=5\), a \(5 \lt 2\) jest fałszem — czyli \(2\) nie spełnia nierówności.
**Uwaga.** Nierówność jest ostra, więc sama liczba \(\frac{20}{7}\) do rozwiązań nie należy; poza tym pytanie dotyczy liczby **najmniejszej**, a rozwiązaniem jest półprosta w prawo, więc bierzemy pierwszą całkowitą tuż za \(\frac{20}{7}\).
**Odpowiedź.** C: \(3\)
Klucz i zasady oceniania
Nie mamy jeszcze opracowanego schematu punktowania do tego zadania.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 4.
Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2020 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Równania i nierówności.
