Nierówności
Zadanie 5, sierpień 2025, poziom podstawowy
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(3-x>\frac{5x-1}{2}\) jest przedział
**A.** \(( -\infty,1)\)
**B.** \(( -\infty,\frac76)\)
**C.** \((1,+\infty)\)
**D.** \((\frac76,+\infty)\)
Odpowiedź
**A.** \((-\infty,1)\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Rozpoznajemy nierówność liniową z ułamkiem. Postępujemy jak przy równaniu — porządkujemy niewiadome po jednej stronie — z jednym zastrzeżeniem: przy mnożeniu lub dzieleniu obu stron przez liczbę ujemną trzeba odwrócić znak nierówności.
**Krok \(2\).** Pozbywamy się mianownika, mnożąc obie strony przez \(2\). Liczba \(2\) jest dodatnia, więc zwrot nierówności zostaje bez zmian:
\[2(3-x)\gt 5x-1,\qquad 6-2x\gt 5x-1.\]
**Krok \(3\).** Przenosimy wyrazy z niewiadomą na prawą stronę, a liczby na lewą:
\[6+1\gt 5x+2x.\]
**Krok \(4\).** Redukujemy:
\[7\gt 7x.\]
**Krok \(5\).** Dzielimy obie strony przez \(7\) (znów liczba dodatnia, znak zostaje):
\[1\gt x,\qquad\text{czyli}\qquad x\lt 1.\]
**Krok \(6\).** Zapisujemy zbiór rozwiązań jako przedział:
\[x\in(-\infty,1).\]
**Krok \(7\).** Sprawdzamy liczbą z wnętrza przedziału, np. \(x=0\): lewa strona \(3-0=3\), prawa \(\frac{5\cdot 0-1}{2}=-\frac12\), a \(3\gt-\frac12\) — zgadza się.
**Uwaga.** Nierówność jest ostra, więc liczba \(1\) nie należy do zbioru rozwiązań (przedział jest otwarty). Warto też zauważyć, że nigdzie nie mnożyliśmy przez liczbę ujemną — dlatego zwrot nierówności ani razu się nie zmienił.
**Odpowiedź.** A. \(x\in(-\infty,1)\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
Wymaganie ogólne: II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
Wymaganie szczegółowe: 3.3) Rozwiązuje nierówności pierwszego stopnia z jedną niewiadomą.
