Zadanie 6 – matura z matematyki czerwiec 2025, poziom podstawowy

**C.** Nierówność jest równoważna \(16-(1-2x)\geq6x\), czyli \(15\geq4x\). Stąd \(x\leq\frac{15}{4}\), więc największą całkowitą wartością jest \(3\).

**Krok \(1\).** To nierówność liniowa z ułamkiem. Postępujemy standardowo: mnożymy obie strony przez \(2\), żeby zniknął mianownik (mnożymy przez liczbę dodatnią, więc znak nierówności zostaje), następnie zbieramy \(x\)-y po jednej stronie, a na końcu z otrzymanego przedziału wybieramy właściwą liczbę całkowitą. **Krok \(2\).** Mnożymy nierówność \(8-\frac{1-2x}{2}\geq3x\) stronami przez \(2\), pamiętając, że mnożymy **każdy** składnik: \[16-(1-2x)\geq6x.\] **Krok \(3\).** Opuszczamy nawias, zmieniając znaki jego wyrazów: \[16-1+2x\geq6x,\qquad\text{czyli}\qquad 15+2x\geq6x.\] **Krok \(4\).** Przenosimy \(2x\) na prawą stronę: \[15\geq4x.\] **Krok \(5\).** Dzielimy przez \(4\) (liczba dodatnia, znak bez zmian): \[x\leq\frac{15}{4}.\] **Krok \(6\).** Zapisujemy \(\frac{15}{4}=3{,}75\). Szukamy największej liczby całkowitej nie większej niż \(3{,}75\) — to \(3\). **Krok \(7\).** Kontrola: dla \(x=3\) lewa strona to \(8-\frac{1-6}{2}=8+2{,}5=10{,}5\), a prawa \(9\); istotnie \(10{,}5\geq9\). Dla \(x=4\) mamy \(8-\frac{1-8}{2}=11{,}5\) oraz \(12\), a \(11{,}5\geq12\) jest fałszem. **Uwaga.** Ułamek stoi ze znakiem minus, więc po pomnożeniu przez \(2\) cały licznik musi trafić w nawias: \(-\frac{1-2x}{2}\cdot2=-(1-2x)\). Pominięcie nawiasu daje \(16-1-2x\) i błędny wynik. **Odpowiedź.** C: \(3\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Wymaganie ogólne: III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Wymaganie szczegółowe: III.3) Rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą.