Liczby rzeczywiste
Zadanie 6, sierpień 2025, poziom podstawowy
Dla liczb rzeczywistych \(x\), \(y\) wyrażenie \((3x+y)^2-(3x-y)^2\) jest równe
**A.** \(12xy\)
**B.** \(-12xy\)
**C.** \(2y^2\)
**D.** \(4y^2\)
Odpowiedź
**A.** Ze wzoru na różnicę kwadratów:
\[(3x+y)^2-(3x-y)^2=(2y)(6x)=12xy.\]
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Mamy różnicę kwadratów dwóch wyrażeń, więc zamiast rozwijać oba nawiasy, wygodniej użyć wzoru
\[u^2-w^2=(u-w)(u+w).\]
Przyjmujemy \(u=3x+y\) oraz \(w=3x-y\) i liczymy osobno różnicę i sumę tych wyrażeń.
**Krok \(2\).** Liczymy różnicę \(u-w\). Minus przed nawiasem zmienia znak każdego wyrazu:
\[u-w=(3x+y)-(3x-y)=3x+y-3x+y=2y.\]
**Krok \(3\).** Liczymy sumę \(u+w\):
\[u+w=(3x+y)+(3x-y)=6x.\]
**Krok \(4\).** Mnożymy oba wyniki:
\[(3x+y)^2-(3x-y)^2=(u-w)(u+w)=2y\cdot 6x=12xy.\]
**Krok \(5\).** Kontrola przez rozwinięcie kwadratów:
\[(9x^2+6xy+y^2)-(9x^2-6xy+y^2)=12xy.\]
Wynik się zgadza.
**Uwaga.** Wyrazy \(9x^2\) i \(y^2\) redukują się całkowicie - dlatego w odpowiedzi nie ma ani \(x^2\), ani \(y^2\). Odpowiedzi C i D powstają wtedy, gdy ktoś zgubi znak przy odejmowaniu drugiego nawiasu.
**Odpowiedź.** A: \(12xy\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
I. Sprawność rachunkowa - wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora, stosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych oraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach rzeczywistych i teoretycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
II.1) Zdający stosuje wzory skróconego mnożenia na: \((a+b)^2\), \((a-b)^2\), \(a^2-b^2\).
