Nierówności
Zadanie 6, sierpień 2017, poziom podstawowy
Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór wszystkich liczb x spełniających
warunek: \(11 \leq 2x - 7 \leq 15\) .
A.
• •
− \(11\) − \(9\) x
B.
• •
\(9\) \(1\) \(1\) x
C.
• •
− \(11\) − \(9\) x
D.
• •
x
\(9\) \(11\)
Odczyt redakcyjny — treść w arkuszu jest uszkodzona
Prawdopodobny zapis wariantów (na rysunku CKE przedstawiono je na osiach liczbowych):
A. \((-\infty,-11\rangle\cup\langle-9,+\infty)\)
B. \((-\infty,9\rangle\cup\langle11,+\infty)\)
C. \(\langle-11,-9\rangle\)
D. \(\langle9,11\rangle\)
w zapisie zastanym z każdego wariantu zostały tylko dwie kropki i para liczb (−11 i −9 albo 9 i 11); rysunek źródłowy pokazuje, że A i B to sumy dwóch półprostych, a C i D — przedziały domknięte, przy czym wszystkie końce zaznaczono kropkami pełnymi; uwaga: dostarczony wycinek jest ucięty i nie obejmuje wariantów C i D w całościOdpowiedź
**D.** \(x\in\langle 9,11\rangle\) — odcinek od \(9\) do \(11\) z zamalowanymi końcami.
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Warunek \(11\leqslant2x-7\leqslant15\) to nierówność podwójna. Nie trzeba jej rozbijać na dwie osobne — wystarczy wykonywać te same działania na wszystkich trzech częściach jednocześnie, tak aby w środku został sam \(x\).
**Krok \(2\).** Pozbywamy się \(-7\), dodając \(7\) do każdej z trzech części:
\[11+7\leqslant2x-7+7\leqslant15+7,\]
czyli
\[18\leqslant2x\leqslant22.\]
**Krok \(3\).** Dzielimy wszystkie trzy części przez \(2\). Dwójka jest liczbą dodatnią, więc zwroty nierówności pozostają bez zmian:
\[9\leqslant x\leqslant11.\]
**Krok \(4\).** Otrzymany zbiór to przedział domknięty \(\langle9,11\rangle\). Na osi liczbowej rysujemy odcinek między \(9\) a \(11\).
**Krok \(5\).** Ustalamy rodzaj kółek na końcach. Nierówności są nieostre (\(\leqslant\)), więc liczby \(9\) i \(11\) należą do zbioru rozwiązań i zaznaczamy je kółkami zamalowanymi. Rysunkiem spełniającym wszystkie te warunki jest rysunek D.
**Uwaga.** Na rysunku trzeba sprawdzić dwie rzeczy naraz: znak liczb i rodzaj kółek. Końce przedziału są dodatnie (\(9\) i \(11\)), więc rysunki z \(-11\) i \(-9\) odpadają od razu, a nieostre nierówności wykluczają kółka puste.
**Odpowiedź.** D: \(x\in\langle9,11\rangle\)
Klucz i zasady oceniania
Nie mamy jeszcze opracowanego schematu punktowania do tego zadania.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 6.
Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2017 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Równania i nierówności.
